





















































LEN in d. 
‚dabei links der Reck 
ar demnach 
m = ft mi + mt fh = 2 fm. 
Merkmal 3 steht rechts schon zehnmal, Ww, 
o schon bedeutend schwieriger zu rechnen, 
ich als Summe der 10 Wahrscheinlichkeiten 
-10 Zeilen, die rechts mit 3 bezeichnet sind. 
indsätzlich möglich ist in dieser Art natürlich 
Ermittlung jeder der Zahlen Wo bis wy. Da 
“aber später zur Bewältigung des Falles sehr 
"N ohnehin andere Wege einschlagen müs- 
‚ wollen wir uns hier nicht zu lange aufhalten. 
r die folgende, sehr einfache Aufgabe sei kurz 
Di jrochen. 
mmt_ man an, daß die Ausgangs-Wahrschein- 
ten f und m beide eleich 0,5 seien, was ja 
shin mit einiger Annäherung in dem in. Rede 
den Falle des Geschlechtsverhältnisses der 
urten zutrifft, so wird jede der 23 — 256 
cheinlichkeiten von Ko gleich 1: 28. Um jetzt 
elsweise w, zu erhalten, braucht man nur 
ehenden Nullen fes zustellen, sie zu ‘verdoppeln 
ind dann durch 28 zu dividieren, und ebenso wird 
durch Abziihlung der rechts stehenden-Einser, 
urch Abzählung der Zweier gefunden usf. 
tellen die Ergebnisse-fiir die beiden Fälle 
ist) und n= 2, ‚also die Wahrscheinlich- 
reiner se ZU } bzw: 2 in einer Serie 
OF 87 
gr ne) 
97 Wo =) 
9% Ws = 10 
me" 
Die in n dieser Tabelle angegebenen Zahlen sind 
nm den Fig: 3 und 4 als Ordinaten zu den Ab- 
r 0, bis 8 bzw. 0 bis 4 aufgetragen. Die bei- 
guren stellen also die gesuchten er 
angen für die Fälle N=8, n=1 und N= 
pei der Annahme f=m=0,5 dar. 
Ba aut. diese. Ergebnisse noch piste. 
6. Mittelwert und. Streuung der gesuchten 
rteilung. Die Berechnung der einzelnen Wahr- 
j lichkeiten TW, % Wy .. 
gesehen haben, wenn nicht gerade f=m 
angenommen wird, schon bei verhältnis- 
Big kleinem N so umständlich, daß an die 
führung dieser Rechnung bei einem mehrere 
ısende betragenden N nicht mehr zu denken 
gelingt aber auf anderem Wege, sich einen 
Ein blick in die gesuchte Verteilung zu verschaf- 
lem man zunächst ihren sogenannten "Mit- 
bestimmt und dann durch Abschätzung 
enannten Streuung unter Heranziehung 
= 

‚anderen Werseahung emmcalieny: 
/ 


Welt AL 
nzahl der Bar in Spalte II von Fig. 2. 
(wobei nur die Spalte I der Figur zu be- | 
. wird, wie wir, 
\nalogieschlusses den Vergleich mit einer. 

n Wahrscheinliehkeitsrechnung. 
% 
Wi man unter Mittelwert einer Verteilung 
versteht, erklären wir am besten an Hand der 
Fig. 4. Denken wir uns die hier stark ausge- 
zogenen 5 Ordinatenstiicke bei den Abszissen 0, 
1, 2, 3, 4 als gleichmäßig dicke Stäbe ausgeführt 
und den Schwerpunkt dieser Stäbeanordnung er- 
mittelt, so hat dieser eine gew isse, zwischen 0 und 
4 Heßerde Abszisse a, die wir eben als den Mit- - 
telwert der Verteilung bezeichnen. Nach bekann- 
ten Regeln der Statik wird allgemein 
iS OW +1 mw, + 2.4 dmg+...-- 
— mtrm tm; + e+... 
=, +2, +3m;+.....; 
denn die Summe sämtlicher w, die 

im Nenner 
steht; muß ja immer gleich 1 sein. Was der Mit- x 
telwert wahrscheinlichkeitstheoretisch _ bedeutet, 
ist auch leicht zu sehen. Hat man eine gewisse 
Anzahl n’ von Elementen, also in unserem Fall 
n’ Serien zu N Eintragungen, beobachtet, so be- 
finden sich darunter no Elemente ohne reine 
Gruppen zu n, m Elemente mit einer, nz mit zwei, 
. n, Elemente mit je v soleher Gruppen. Die 
Gesamtzaht der beobachteten reinen Gruppen ist 
daher mn +2nt+3ng+..¢+ 7, und die durch- 
schnittliche Anzahl oder das arithmetische Mittel 
beträgt: 

‘My +2 My +3 Ng+.... + VN 
Age CG oe Laat 
N x 
nN; No N Ty 
= 2 4 Cy «a8 \ — 
age an au 

TTC ey aa) 0=4 
Fig. 3. 
RER ORT 
A BF 
Rigs 4.2 
Läßt man n’ größer und größer werden, so nähert 
sich jeder der Quotienten rechts einem. festen 
Grenzwert, und zwar der erste dem Wert v1, der 
demnach der Ban 
zweite dem Wert Ww, usf., 
Ausdruck rechts dem Wertw, +2m+3w;+.: 
vw. =a. Es stellt also a den Grenzwert dar, iR 
das arithmetische Mittel der Merkmale (der An- 
zahl reiner Gruppen) bei unbeschränkt w achsender 
Zahl von Beobachtungen annimmt. 
Man kann nun durch eine | überaus einfache‘ 
Formel den ME a der von uns gesuchten 
m 




