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Mit diesen vier Sätzen glaube ich den Haupt- ' 
inhalt der Marbeschen Lehre vom statistischen 
Ausgleich möglichst getreu wiedergegeben zu 
haben. 
. 8: Kritik der Lehre vom statistischen Aus- 
gleich. Das Schwergewicht der Behauptung a) 
liegt jedenfalls in der Unterschreitung der berech- 
neten Mittelwerte durch die Beobachtungen bei 
größeren n, denn die Überschreitung bei kleineren 
n tritt viel weniger deutlich zutage. Tatsächlich 
liegen von den 20 letzten Beobachtungen für n = 
13 bis 17 fünfzehn unter dem Mittel. Nun wäre 
es aber ein Irrtum, aus der Bezeichnung ,,Mittel- 
wert“ etwa zu schließen, 
allen Fällen gleiche Wahrscheinlichkeit für posi- 
tive und negative Abweichungen ergeben. Sehen 
‘wir uns etwa den Fall N=8, n=2 an, für den 
.in Abschn. 6 der Mittelwert «= 1,125 bestimmt 
‚und in Abschn. 5 und Fig. 4 tabellarisch und 
zeichnerisch alle einzelnen mw-Werte angegeben 
wurden. Die Wahrscheinlichkeit für das Auf- 
treten keiner oder einer reinen Gruppe zu 2 er- 
gibt sich hier zu 
37+50 _ 87 
ost Whe a tae? 
die fiir das Auftreten von mehr als 1,125 Grup- 
pen zu 
30-+10-+1_ 
AU Als Bic es an 2 Se 
‚Hier ist es also mehr als doppelt so wahrschein- 
lich, daß die Zahl der reinen_Gruppen unter a 
liegt, als über a! Auch im Fall N=8, n=2 in 
Fig. 2, wo der Mittelwert a= 2,5 gerade in der 
Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen liegt, besteht 
ein Ubergewicht zugunsten der kleineren Werte, 
‘und zwar ist Wo + i, > tw. = 35:64 und w,+ 
Wat... + ws = 29:64. Wie es im allgemeinen 
bei beliebigem N und n steht, kann man natür- 
dich nur dann sagen, wenn man die Verteilung 
‚genau bestimmt hat. Aber zumindest für grö- 
Bere n, die notwendig sehr kleine a-Werte nach 
sich ziehen, kann man mit Sicherheit das Vor- 
handensein dieses Übergewichtes behaupten. Wir 
haben im. Marbeschen Fall N=49152, n=14, 
den Mittelwert a=1,5, während die überhaupt 
möglichen Werte von 0 bis 3510 (d. i. die größte 
in 49152:14 enthaltene ganze Zahl) laufen. Da 
demnach die 
liegenden „Stäbe“ bei 0 und 1 mit ihrem 
nur sehr geringen Abstand vom Mittelwert a 
dasselbe statische Moment (d. i. Produkt aus 
Gewicht und Abstand) ergeben müssen, wie 
die übrigen 3509, zum Teil beträchtlich weit ent- 
fernten, zusammen, so kann man wohl annehmen, 
daß die ersteren schwerer wiegen als die letzteren, 
Bei kleinen n besteht die Unsymmetrie in bezug 
auf den Schwerpunkt noch in demselben Sinn, 
aber viel weniger ausgesprochen: für n—1 ist a 
rund ein Viertel des größtmöglichen Wertes, hin- 
gegen bei n—=14 rund ein Zweitausendstel. Wir 
können also zu Behauptung a) sagen: Daß unter 
‘den beobachteten Anzahlen reiner Gruppen mehr 
Misch: Marbes ; „Gleichförmigket in der wen“ u 
die Rechnung müßte in ~ 
“mal die Anzahl der reinen Gruppen zu n ist; wi 
beiden allein links vom Mittel - - 
licher Angabe die volle Über einstimmung zwische 
geben’), 
beobachteten SE BERN kann eine größere Uber- 3 























































solche okomrien di unter “ 
Theorie von vornherein, und zwar in. beson« 
Maße bei größeren n, erwarten. 
Auf die Abweichung der aus .den vier Bas b= 
achtungen gebildeten Durchschnittswerte von den 
a-Werten bezieht sich diese Aussage nicht. Tat- - 
sächlich sind aber auch unter den letzten fünf Fi 
len nur zweimal, bei n= 14 und n = 16, die Di 
renzen negativ. Sprechen wir von diesen Albw 
chungen der Durchschnittswerte — und 
mit treten wir zugleich in die -Erör 
rung der. Behauptung b) ein —, so müssen 
wir uns die Bedeutung der Größe a vergegen- 
wärtigen (Abschn. 6). Der Mittelwert a ist der 
Grenzwert, dem das arithmetische Mittel der be- 
obachteten Zahlen bei unbegrenzter Vermehrung 
der Beobachtungen zustreben soll. Mit anderen 
Worten: man muß erwarten, daß‘ bei einer sehr 
großen Zahl von Beobachtungen der tatsächlich 
beobachtete Durchschnitt nahe mit a zusammen- 
fällt. Wie steht es nun hier? Es sind im gan- 
zen 4, sage vier, Beobachtungen einer Serie vo 
N ‚Eintragungen vorgenommen worden. Kan 
man sich wundern, daß vier Elemente noch nie = 
genau die Merkmalverteilung liefern, die man 
bei einer sehr großen Zahl von Elementen an- 
nähernd zu erwarten hat? Darf man annehmen n, 
daß bei einer Durchschnittsbildung aus vier Be- 
obachtungen schon ein nennenswerter Ausgleich 
gegenüber einer Einzelbeobachtung eintritt? Der 
kapitale Irrtum scheint darin zu liegen, daß aus 
der enormen Größe der Zahl N bei Marbe peg 
schlossen wird, man wiirde sich auf eine sehr — 
große Reihe von Beobachtungen stützen. Die Ver- 
wechslung ist begreiflich, wenn man- bedenkt, 
welch umfangreiche statistische Erhebungen e 
forderlich waren, um zu einer der Durchschnitt 
zahlen zu gelangen. Aber unsere Klarstellung d 
Begriffe des Kollektivs und. der Wahrscheinlich- 
keit im ersten Teil dieses Aufsatzes lassen keinen 
Zweifel darüber zu, daß es sich eben um eine 
Verwechslung handelt. Die gesamten 49152 Ein- 
tragungen bilden erst-ein Element, dessen Mer 
man Wahrscheinlichkeitstheorie mit diesem Stoff as 
treiben, so muB man eine große Zahl solcher Ele- = 
mente vornehmen. Hätte Marbe die rund 200 000° B 
Eintragungen etwa in 200 Serien zu 1000 geteilt - 
und für jede solche Serie die Zahlen der reinen 
Gruppen bestimmt, so wäre eine weitergehende 
Übereinstimmung EN den Durchschnitte 
(aus je,200 Beobachtungen) und den Mittelwerte 
zu erwarten gewesen. Tatsächlich hat eine in 
dieser Art vorgenommene Untersuchung der ‚Ges 
burtseintragungen (wobei 4096 Serien zu 12 aus 
dem Würzburger Register auf ihre Gruppenzah- 
len untersucht wurden) nach Marbes ausdriic 
Erfahrung und Wahrscheinlichkeitsrechnung® er 
Wir können zusammenfassend zunäe st, 
zu b) sagen: Bei der geringen Zahl von nur vier 
1) A. 0.0. 8. 250. 
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