






















mu 9. mit wy hei ae ae der Rechnung 
vor: ıhe ein. nicht erwartet werden. 
an wird. dagegen einwenden — und darin 
rirklich eine gewisse Stütze für die Auffas- 
ig der Marbeschen Erhebungen als eines sta- 
chen Materials von großem Umfang —, daß 
‚gewissen Aufgaben, die große Den 
lemente betrachten, doch schon aus einzel- 
ganz wenigen Beobachtungen Schlüsse wahr- 
sinlichkeitstheoretischer Art gezogen werden 
men. Nimmt man z. B. eine Serie von 50 000 
fen mit einer Münze (Kopf- und Adlerspiel) 
Element und die zwischen 0 und 50000 
ende . Anzahl der Kopfwiirfe als Merkmal, so 
_ die zugehörige Verteilung das Merkmal 
5 000 sowohl als Mittelwert wie als wahrschein- 
sten Wert auf. Würde nun etwa ein einziger 
such mit einer solchen Serie als Merkmal eine 
il unter 24 000 ergeben, so müßte man darin 
e ‚sehr auffallende Abweichung gegenüber der 
h rscheinlichkeitsrechnung erblicken, allerdings 
ht deshalb, weil die Differenz zwischen Mittel- 
ana. Beobachtung an sich sehr groß ist, son- 
| weil “die in diesem Fall vollständig angeb- 
Be eeilung des betrachteten Kollek- 
: Die Wahrscheinlichkeit dafür, 
s - Merkmal unter 24000 liegt, ist 
ner als 10-17, also ganz enorm gering. Es 
eine Widerlegung der Wahrscheinlichkeits- 
by hnung, aber ein auffallendes, zu weiteren Be- 
ür vas, nm—1 und n—2 Rare By ye 
tt 5 ‚geschehen ist. Da aber, wie schon er- 
bei großem N eine ‚derartige Berechnung 
KLIS uns 
} einem Analogieschlu8 begnügen, indem wir 
6 bekannte Verteilung, die in den Hauptzügen 
re S yehten übereinstimmt, zum Vergleich 
Wenn eine Urne, die schwarze und 
as die eines eaten) q ist, so wird die 
‘ahrscheinlichkeit, in z Zügen gerade x weiße 
r 
der an srausdruck den z-ten Binomal- 
Sa n-ter Ordnung darstellt), nach 
en Regeln der Wahrscheinlichkeits- 
ie Bestell, Das Element des hier ins 
faßten Kollektivs ist eine Serie von 

2 
Bleietormigte in der Welt® u. a. Wahrscheinlichkeitsrechnun g. 
‚ len. 
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Wählt man für z einen überaus großen, für p 
einen überaus kleinen Wert, aber derart, daß das 
Produkt endlich bleibt, so geht nach einer Formel 
von Poisson der Ausdruck von We über in 
ra az e=a 
SER 2 Oise 00 
Zugleich muß g, weil p klein und ptq=1 ist, 
annähernd gleich 1, somit s? annähernd gleich a 
werden. Nehmen wir für a etwa den Wert 0,375, 
der in unserer Tabelle für n—16 erscheint, so 
haben wir eine Verteilung vor uns, die folgende 
Eigenschaften aufweist: 1. Das Merkmal durch- 
läuft die ganzen Zahlen von 0 bis ins Unendliche 
(oder sehr Weite); 2. der Mittelwert und auch 
der wahrscheinlichste Wert liegt bei 0,375, also 
ganz nahe der unteren Grenze; 3. die Streuung 
ist annähernd gleich dem Mittelwert. — Alle 
diese Eigenschaften besitzt auch die gesuchte 
Verteilung im Marbeschen Fall WN = 49 152, 
nm = 16, und es führen überdies bestimmte mathe- 
matische Überlegungen, die hier nicht berührt 
werden können, zu der Annahme, daß die beiden 
Verteilungen im Grenzfall unendlicher N tat- 
sächlich übereinstimmen miissent). Rechnen wir 
also nach der Poissonschen Formel die Wahr- 
scheinlichkeiten für = 0, 1, 2,.. .., so erhalten 
wir 
Wo = 0,687, w, = 0,258, m, = 0,048. 
Man sieht daraus: Es ist mit rund 70 % Wahr- 
scheinlichkeit zu erwarten, daß in einer Serie von 
49152 Eintragungen keine reine Gruppe zu 16 
vorkommt, und nur mit etwa 25 %, daß eine auf- 
tritt. Überdies ist das Fehlen der Iteration ge- 
radezu das wahrscheinlichste Ereignis (größter 
w-Wert)! Niemandem wird es unter solchen Ver- 
hältnissen als ein Widerspruch gegen die Theorie 
erscheinen, daß bei vier Beobachtungen jedesmal 
die Gruppenzahl null erscheint; da die vierte. Po- 
tenz von 0,7 rund ein Viertel ist, so besagt die 
Theorie, daß, wenn unendlich viel Serien zu 
4 Beobachtungen vorgenommen werden, in einem 
Viertel der Fälle das von Marbe beobachtete Er- 
gebnis eintreten müßte. 
Wir haben die Gruppen zu 16 herausgegriffen, 
weil dies die größte beobachtete Gruppenlänge 
ist, bei der eine Unterschreitung des gerechneten 
Mittelwertes zutage trat. Bei n=11, 12, 138,15 
‘ und 17 liegt der beobachtete Durchschnitt, meist 
sehr knapp, über dem Mittel. Nur bei n=14 
müssen wir eine starke Unterschreitung feststel- 
‘ Hier ergibt, mit a=1,5, die Poissonsche 
Formel m, = 0,22 und m; = 0,33, es ist also als 
auffallend zu bezeichnen, daß in 4 Fällen sich 
dreimal die Gruppenzahl 0 und einmal die 
(wahrscheinlichste) 'Gruppenzahl 1 gezeigt hat. 
1) Auch die allgemein übliche, von Marbe, Bortkie- 
wice u. a. herangezogene Methode, aus der Größe der 
Streuung auf den Verlauf der Verteilung zu schließen, 
beruht lediglich auf einem Analogieschluß, aber auf 
einem viel weniger begründeten: Es wird nämlich dort 
einfach angenommen, daß die Verteilung annähernd 
durch eine symmetrische Gaußsche Fehlerkurve darstell- 
bar sei. Einen anderen Sinn hat die Anwendung des 
Begriffes „mittlerer Fehler“ nicht. & 

