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25. 4. 1919 
Jahren kam er, inzwischen durch physikalische 
Arbeiten beschäftigt, auf diesen Gedanken zurück 
und veröffentlichte in den Proceedings der Mathe- 
matical Society of London und den Philosophical 
Transaetions of London von 1865 und 66 in zwei 
„Fragmenten“ seine neuen Ideen über die Kom- 
plexe, Kongruenzen und Geradenkonfigurationen, 
„to show their importance, greater perhaps than 
it appears at first sight“. Im Jahre 1865 hatte 
Plücker den damals kaum sechzehnjährigen Felix 
Klein zum Assistenten für seine Vorlesungen ge- 
wählt, und im fortwährenden Verkehr mit die- 
sem entstand nun ein umfangreiches Werk, die 
„Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die 
gerade Linie als Raumelement“, dessen erster Teil 
schon in den Druckbogen fertiggestellt war, als 
Pliicker im Mai 1868 starb. Clebsch in Gießen 
übernahm die Herausgabe desselben und hob da- 
bei hervor, daß F. Klein, der sich Geist und Me- 
thode der neuen Forschung zu eigen gemacht 
habe, damit beschäftigt sei, den zweiten Teil des 
Werkes von Plücker in dessen Sinne zu ergänzen, 
soweit es erforderlich sei. Kurz nach Plückers 
erster Publikation von 1865 hatte der italienische 
Mathematiker G. Battaglini die Theorie der durch 
eine, zwei oder drei algebraische Gleichungen 
ersten und zweiten Grades zwischen den Koordi- 
naten der Geraden definierten Gebilde mit etwas 
moderneren Hilfsmitteln behandelt, als sie dem 
Physiker Plücker im Alter geeignet erscheinen 
mochten; auch war schon die Dissertation von 
J. Lüroth, der sich 1866 in Heidelberg habilitiert 
hatte, durch Clebsch angeregt, die namentlich das 
durch die Anzahl der überall endlichen Abelschen 
Integrale gegebene Geschlecht einer Regelfläche 
hei dieser neuen Begriffsbildung bestimmte. 
Da erkannte nun Klein sofort die Wichtigkeit 
der allgemeinen linearen Transformation der 
Linienkoordinaten für alle mit ihnen zusammen- 
hängenden Fragen, von der Battaglini keinen Ge- 
brauch gemacht hatte, und die Möglichkeit, an 
Stelle der Plückerschen Koordinaten py, zwi- 
schen denen die Identität 
PıaPat P13 Pao + Pus P23 = 0 
besteht, seine sechs Koordinaten 
% Los Hx, L4, Us, He 
als lineare Funktionen der py, einzuführen, zwi- 
schen denen die Identität 
Hy? + aq? + x? + ay? + x," + xe? = 0 
besteht, und die Theorie der Komplexe zweiten 
Grades mit Hilfe der kanonischen Transformation 
der allgemeinen Gleichung zweiten Grades in 
bezug auf das System dieser sechs Fundamental- 
komplexe %=0 darzulegen. Dabei war von 
wesentlicher Bedeutung die neueste Arbeit von 
K. Weierstraß in den Monatsberichten der Ber- 
liner Akademie von 1868, welche dem allgemeinen 
Verständnis wohl manche Schwierigkeiten damals 
bereiten mochte. So gelang es ihm, die kanoni- 
schen Formen aller Komplexe zweiten Grades 
nach den Elementarteilern der charakteristischen 
Determinante geordnet im Weierstraßschen Sinne 
Nw. 1919, 
Voß: Felix Klein als junger Doktor. 
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zu ermitteln, und eine der bei seiner Promotion an 
der Universität Bonn am 12. Dezember 1868 ver- 
teidigten Thesen lautete, daß der von Battaglini 
für allgemein gehaltene Komplex zweiten Grades 
bereits in zweifachem Sinne spezialisiert sei. 
Durch eine scharfsinnige Kombinatorik der 
Fundamentalkomplexe und ihrer Lagenbeziehun- 
gen untereinander erkannte er zugleich die bereits 
von Plücker gefundene Singularitätenfläche des 
allgemeinen Komplexes zweiten Grades fast ohne 
alle Reehnung, die als in sich selbst duales Ge- 
bilde vierter Ordnung und Klasse mit sechzehn 
Doppelebenen und Doppelpunkten schon 1864 ia 
E. Kummers Arbeiten aufgetreten war und nun 
fortan als Kummersche Fläche bezeichnet wurde. 
is hätte für Klein sehr nahe gelegen, in die- 
sem Sinne die Plückerschen Manuskripte umzu- 
gestalten. Aber mit der größten Pietät hat er die 
Methoden seines Lehrers in der schon im Sommer 
1869 erfolgten Herausgabe des zweiten Teils der 
„Neuen Geometrie“ beibehalten, über die er 
eigentlich schon weit hinaus war. 
Im Sommer 1869 hörte er bei Clebsch die 
Vorlesungen über die Invarianten der binären 
Formen und Optik nach den Untersuchungen von 
Cauchy in dessen Exercices de physique et de mathé- 
matiques. Unter den Teilnehmern an denselben 
befand sich auch M. Nöther, der schon in Gießen 
als Schüler von Clebsch den Grund zu seinen 
eigenen ausgezeichneten algebraischen Unter- 
suchungen gelegt hatte. Beide traten von da ab 
in regen wissenschaftlichen Verkehr, der alsbald 
zu einem lebhaften Briefwechsel führte, als 
Nöther wieder Göttingen verließ, um sich zur 
Habilitation in Heidelberg vorzubereiten. Welche 
Fortschritte indes Klein schon sehr bald im Ge- 
biet der Liniengeometrie gemacht hatte, geht 
namentlich aus seiner Arbeit „Zur Theorie der 
Komplexe ersten und zweiten Grades“ hervor, die 
bereits im Juni 1869 in den „Göttinger Nach- 
richten von der k. Gesellschaft der Wissen- 
schaften“ erschien. Hier tritt zum ersten Male 
der Begriff der simultanen Invariante zweier 
linearen Komplexe, deren Verschwinden die in- 
volutorische Lage derselben anzeigt, und die 
Beziehung der nämlichen Kummerschen singu- 
laren Fläche zu der CO! Anzahl von Komplexen 
zweiten Grades hervor, deren analytischer Aus- 
druck in Analogie zu den konfokalen Systemen 
von Flächen zweiten Grades gebildet ist, sowie 
der Hinweis auf eine algebraisch lösbare Glei- 
chung sechsten Grades: ein erster Schritt zu 
Kleins späteren bahnbrechenden Untersuchungen 
über die Lösung algebraischer Gleichungen. 
Zum Winter 1869/70 ging Klein nach Berlin, 
wo er auch mit O. Stolz, dem späteren Innsbrucker 
Professor, der bereits in Wien habilitiert war, zu- 
sammentraf. Aber von noch größerer Bedeutung 
wurde für ihn die Bekanntschaft mit Sophus Lie 
aus Kristiania. Beide gehörten als besonders 
tätige Mitglieder dem von HE. Kummer geleiteten 
mathematischen Seminare an, in dem für dieses 
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