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Semester die Theorie der Strahlensysteme als 
Thema gestellt war. Außerdem hörte er bei L. 
Kronecker Theorie der quadratischen Formen und 
arbeitete sich in die Zahlentheorie ein, die er 
selbst später eingehend in Vorlesungen behan- 
delte. Auch mit K. Weierstraß kam er in Be- 
ziehung, doch handelte es sich hier vorwiegend 
um algebraische Fragen, über die er mit Nöther 
korrespondierte. 
Von besonderer Wichtigkeit aber ist es, daß er 
schon im Seminar bei Weierstraß ein Referat 
über A. Cayleys projektive Maßbestimmung in 
bezug auf ein „absolutes“ Gebilde zweiten Grades 
von 1859 hielt, denn hieran knüpften sich bald 
seine tiefen Gedanken über Nichteuklidische Geo- 
metrie. 
Im Frühjahr 1870 verließ Klein Berlin, um 
in Paris mit seinem Freunde Lie wieder zusam- 
menzutreffen. Als Frucht ihrer gemeinsamen 
Berliner Studien war bereits die Arbeit „Sur une 
certaine famille de courbes et de surfaces“ ent- 
standen, welche durch M. Chasles der Pariser 
Akademie zur Aufnahme in die Comptes Rendus 
vorgelegt wurde. Erst 1876/71 ist ein Teil des 
reichen Materials, das in derselben enthalten ist, 
im Band IT der Mathematischen Annalen erschie- 
Hem. 
Zugrunde liegt dort ein damals ganz neuer 
Gedanke, nämlich die Untersuchung aller geo- 
metrischen Gebilde A, die durch Transformatio- 
nen T in sich übergehen, bei denen also alle Ge- 
bilde B, die mit A in einer durch die Transfor- 
mationen T unzerstörbaren Beziehung stehen, 
diese letztere beständig bewahren. Diese Auffas- 
sung, die Lie später in seinen großen Arbeiten 
über kontinuierliche Transformationsgruppen, 
Klein aber namentlich in bezug auf diskrete 
Transformationen verwandte, wurde hier zur 
Untersuchung derjenigen „ebenen Kurven W“ 
benutzt, welche durch 091 lineare, mithin ver- 
tauschbare T, die ein ,,geschlossenes“ System, 
d. h. eine Gruppe bilden, in sich übergehen. Es 
gelang das in einfachster Weise durch die Nor- 
malformen der fünf Klassen von Kollineationen, 
welehe der Beschaffenheit der bei diesen letzteren 
fest bleibenden Punkte resp. Geraden entsprechen, 
die: in geeigneter Weise ins Unendliche verlegt 
wurden. So ergibt sich anschaulich nicht allein 
die. Gesamtheit der Gleichungen der Kurven W, 
sondern zugleich eine große Zahl merkwürdiger 
Eigenschaften derselben, zu denen schließlich der 
wohl Lie angehörende Satz hinzutritt, daß jede 
Differentialgleichung erster Ordnung, welche 001 
bekannte (nicht triviale) Transformationen in sich 
zuläßt, durch Quadratur integrierbar ist. 
| ‚Die Redaktion dieser Arbeit stammt von Klein. 
‘Wenn, dabei fast stärker die Ideen von Lie her- 
vortreten, so beruht das wohl auf der Gewissen- 
_haftigkeit, mit der-er den Anteil seines Freundes 
- an, derselben bezeichnen wollte. 
Daneben tritt aber auch.schon die an-das „Er- 
danger. Programm“ von 1872 anklingende Forde- 
Voß: Felix Klein als junger Doktor. 
Die Natur- 
wissenschaften 
rung auf: „Es sind die Eigenschaften solcher 
geometrischen Gebilde zu entwickeln, 
einem willkürlich gewählten durch Gruppen von 
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die aus 
unendlich vielen unter sich vertauschbaren line- — 
aren Transformationen hervorgehen.“ 
Im Besitze dieser Gesichtspunkte waren Klein 
und Lie indessen schon in weit größerem Um- 
fange im Winter 1869/70. Denn die Arbeit in 
den Comptes Rendus von 1870, S. 1222 und 1270. 
bezieht sich auf die Ausdehnung derselben auf 
den Raum, d. h. auf „Systeme von Kurven V“. 
welche durch eine unendliche Zahl linearer Trans- 
formationen in sich übergehen. Insbesondere 
wird, da unter solchen Transformationen sich 
jedenfalls auch eine bestimmte unendlich kleine 
befindet, bei der aus dieser entspringenden 
Gruppe vertauschbarer Transformationen jedes- 
mal ein eigentliches oder uneigentliches Tetraeder 
fest bleiben. Und nun richtete sich die weitere 
Untersuchung auf die Flächen V, die durch 
Kurven V erzeugt werden. So ergibt sich eine 
große Anzahl von auf ein allgemeines Theorenr 
zurückgeführten Sätzen, deren Inhalt immer noclr 
lange nicht erschöpft sein dürfte. 
Für Klein stand es nun fest, sich noch im 
Winter in Göttingen zu habilitieren. Zuvor aber 
wollte er nach England, vielleicht auch nach 
Italien gehen, wohl um dort A. Cayley und E. 
Beltrami zu sprechen, deren Arbeiten zu seinen 
Nichteuklidischen Ideen in so naher Beziehung 
standen. 
Der Krieg zwischen Deutschland und Frank- 
reich aber vereitelte diesen Plan. Klein, für den 
Felddienst nicht geeignet befunden, meldete sich 
freiwillig zum Sanitätsdienst im Heere und war 
in dieser Eigenschaft auch an den auf die großen 
Kämpfe bei Metz und Sedan folgenden Tagen 
tätig. Erkrankt mußte er dann nach seiner Hei- 
mat zurückkehren, doch hatte er Mitte November 
die frühere Gesundheit wiedererlangt. Lie war 
zunächst noch in Paris geblieben, wurde aber dort 
verhaftet, weil man in seiner Korrespondenz- mit 
Klein in dem häufig wiederkehrenden Worte 
„Komplex“ eine Chiffre für Spionage vermutete; 
erst die Aussage des ihm befreundeten 
Mathematikers @. Darboux klärte das Mißver- 
ständnis auf und befreite ihn aus der Haft. 
Im Laufe des Winters 1870/71 erweiterten 
sich Kleins Ideen über Nichteuklidische Geo- 
metrie, wie aus seinen Briefen an Nöther vom 
17. Dezember 1870, dann vom 12, März 1871, her- | 
vorgeht, immer. mehr. Als Grundhypothese er- 
scheint ihm zunächst noch die projektive Eigen- 
schaft des Raumes, für den nach Euklid der 
imaginäre Kreis als ,,Absolutes Gebilde“ im 
Sinne von Cayleys Untersuchungen, die. sich in- 
dessen nur auf die Ebene bezogen, ‚auftritt, dann 
aber: führt ihn das Studium der Arbeiten Chr. 
von Staudts zu der Ansicht, daß die projektive 
Geometrie in Wirklichkeit : unabhängig vom 
Parallelenaxiom sei und letzteres nur scheinbar bei 
von Staudt vorausgesetzt: werde. Diese: wichtige 
