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Bemerkung‘ (man vergleiche übrigens die Note in 
den Göttinger Nachrichten von 1872, „Über einen 
Satz der Analysis situs“) wird nun zum Fundament 
seiner grundlegenden Untersuchungen über Nicht- 
_ Huklidische Geometrie. Und aus Beltramis Satz, 
daß’ nur in Räumen von konstantem Kriimmungs- 
maß die geodätischen Linien durch lineare Glei- 
ehungen sich darstellen lassen, erkennt er bereits, 
daß die Vierseitskonstruktion von @. Desargues 
nicht in der Ebene bewiesen werden kann, sondern 
den Raum notwendig voraussetzen muß. Er über- 
zeugt sich auch schon davon, daß von den von 
H. Helmholtz in den Göttinger Nachrichten 1868, 
„Über die Tatsachen, welche der Geometrie zu- 
srunde liegen“, aufgestellten Axiomen jedenfalls 
eines, das Monodromieaxiom überflüssig sei (man 
vergleiche namentlich die ausgedehnten Unter- 
suchungen von Lie in dessen Theorie der Trans- 
formationsgruppen, Band III, S. 438 ff., 1893). 
Und aus derselben Zeit stammt auch schon die 
Einsicht, daß die elliptische Geometrie, als deren 
Abbild man die Geometrie auf der Kugel ansah, 
obwohl hier die von einem Punkte ausgehenden 
„geradesten“ Linien sich in dem Gegenpunkte 
wieder treffen, ihr adaquates Abbild durch das 
Strahlenbündel findet. Doch muß die genauere 
Betrachtung aller dieser Dinge einer anderen 
Darstellung vorbehalten bleiben, während es hier 
darauf ankam, hervorzuheben, wie frühe schon 
dieseiben den jungen Doktor Klein beschäftigt 
haben. 
Im Winter 1870 entstand aber noch eine 
weitere gemeinsame Arbeit mit Lie; es ist die 
über die Haupttangentenkurven der Kummer- 
schen Fläche. Lie hatte sie zunächst als algebrai- 
sche Kurven 16. Ordnung gefunden, während 
Klein in den Beziehungen dieser Fläche zu dem 
System der konfokalen Komplexe zweiten Grades 
die Möglichkeit erkannte, alle ihre Singularitaten 
und charakteristischen Zahlen im Sinne von 
Cayleys Erweiterung der Plückerschen Formeln 
für ebene Kurven auf den Raum, sowie die Exi- 
stenz von sechs ausgezeichneten Haupttangenten- 
kurven 8. Ordnung und Klasse zu erkennen, eine 
Arbeit, die noch im Dezember 1870 in den 
Monatsberichten der Berliner Akademie erschien. 
Und die zierlichen Arabesken, welche diese Kur- 
ven innerhalb der Systeme der parabolischen 
Kurven der Fläche bilden, wurden von ihm später 
als Ornament für ein Ballkleid seiner Braut 
Anna Hegel, einer Tochter des bekannten Histo- 
rikers K. Hegel, die er noch in Erlangen als Frau 
in sein Heim einführte, verwandt. 
Klein besaß überhaupt ein durch die liebens- 
würdigsten Umgangsformen unterstütztes reiches 
geselliges Talent, das er in Göttingen und Erlan- 
gen gern unter den Kollegen verwandte. In Er- 
langen demonstrierte er sogar einmal die für das 
von ihm dort gegründete mathematische Seminar 
angeschaffte Thomassche Rechenmaschine, wozu 
auch die Frauen der Kollegen eingeladen waren. 
Nicht alle gelangten: aber zu .gleichem Verständ- 
Voß: Felix Klein als junger Doktor. 
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nis, und einer der Herren glaubte sogar aus dem 
Vortrage den Schluß ziehen zu können, daß 
Mathematik überhaupt keine Wissenschaft sei, da 
sie auch mittels einer Maschine hervorgebracht 
werden könne. 
Man würde aber eine unrichtige Vorstellung 
von dem jungen Professor gewinnen, wenn man 
ihn in Rücksicht auf seine originelle, in alle 
Formen der täglichen Erlebnisse hineinragende 
mathematische Ideenbildung ausschließlich mit 
rein mathematischen Gedanken beschäftigt an- 
sehen wollte. Wirkte dem schon entgegen seine 
physikalische Schulung als Assistent Plückers, so 
war er selbst auch in Erlangen eifrig bemüht, 
gegen die Ubermacht des mathematischen Den- 
kens ein Gegengewicht zu finden. So arbeitete 
er anatomisch unter dem Zoologen E. Selenka, 
und mit dem befreundeten Botaniker M. Reef bot 
das Studium der niedersten pflanzlichen Organis- 
men ein vielseitiges Interesse, 
Noch im Januar 1871 habilitierte sich Klein. 
in Gottingen. „Ich hatte außerordentliches 
Glück bei der Habilitation“, schrieb er unmittel- 
bar danach an Nöther. Von der Vorlage einer be- 
sonderen Habilitationsschrift sah die Fakultät an- 
gesichts seiner hervorragenden Arbeiten ab, und 
der ganze Akt, bei dem er Modelle von Kömplex- 
flächen als Thema einer Probevorlesung zu’ be- 
sprechen hatte, klang in die warme Anerkennung 
aus, die Clebsch dem jungen, so viel versprechen- 
den Dozenten zollte. Noch in den Wintermonaten 
hielt er mit einigen Studierenden geometrische 
Übungen ab, für den Sommer hatte er neben einem 
zweistündigen Publikum über Komplexe eine 
vierstündige Vorlesung über theoretische Optik 
angezeigt in der Absicht, dieselbe nicht in aus- 
schließlich abstrakt mathematischem Sinne, son- 
dern mit fortwährender Beziehung auf die wirk- 
lichen Erscheinungen zu halten. An derselben 
nahmen neun Hörer teil; unter den damaligen 
Frequenzverhältnissen eine sehr befriedigende An- 
zahlt). 
Das Jahr 1871 ist nun merkwürdig durch die 
große Zahl von Arbeiten Kleins, von denen fast 
jede bedeutungsvoll für seine spätere Entwicklung 
geworden ist. Die Note in den Göttinger Nach- 
richten vom August „Über die sogenannte Nicht- 
Euklidische Geometrie“ betont zunächst, daß es 
sich nicht um die philosophischen Spekulationen 
handelt, welche zum Teil zu den Arbeiten von 
Gauß, Lobatscheffskij, Bolyai und insbesondere 
zu den Betrachtungen von Riemann und Helm- 
holtz hingeleitet haben, sondern will die mathe- 
matischen Resultate, insoweit sie sich auf die 
Parallelentheorie beziehen, einem allgemeineren 
Verständnis durch den Nachweis deutlich machen, 
1) Die Zahl der Hörer war in den sechziger Jahren 
bei mathematischen Vorlesungen immer nur: gering; 
einzelne Dozenten haben gelegentlich vor 1—2 Hörern 
vorgetragen. Zu der Vorlesung von Clebsch über Abel- 
Funktionen (Winter 1872) fanden sich dagegen 
fast 70 ein. Zu ka 
