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daß die projektive Maßbestimmung, welche Cayley 
1859 im sixth memoir upon quantics (Phil. Trans- 
act. 149) in bezug auf eine Fundamentalkurve 
zweiter Ordnung in der Ebene konstruierte, bei 
geeigneter Ersetzung durch eine Fundamental- 
fläche zweiter Ordnung je nach der Natur der- 
selben nicht nur ein Bild oder eine rein mathe- 
matische Transformation der verschiedenen Paral- 
lelentheorien ist, sondern das innere Wesen der- 
selben aufdeckt. Indem Klein die Unterscheidung 
der Unendlichkeit des Raumes von seiner Unbe- 
erenztheit nach Riemann sich zu eigen macht, er- 
hält er mittels der Verallgemeinerung der Cayley- 
schen Untersuchung für den Raum und eines 
prinzipiellen Maßbegriffes die drei Geometrien, 
welche hinfort als elliptische, hyperbolische und 
parabolische in der Wissenschaft auftreten, und 
die nicht nur, wie bei Cayley, mathematische 
Interpretationen der Euklidischen Geometrie sind, 
sondern unabhängige davon ihr eigenes selb- 
ständiges Wesen darlegen. 
Neben diesen Gedanken, deren prinzipielle Ge- 
stalt hier wohl noch einmal historisch hervor- 
gehoben werden durfte, beschäftigten ihn gleich- 
zeitig noch viele andere. Die an C. Jordans 
traité des substitutions -anknüpfende Arbeit 
„Über eine geometrische Repräsentation der Re- 
solventen algebraischer Gleichungen“ vom Mai 
1871 (Math. Annalen IV, S. 346) geht von dem 
Gedanken der durch kontinuierliche vermittelten 
diskreten Gruppen aus. Danach deckt sich die 
Galoissche Theorie der (allgemeinen) Gleichung 
nten Grades mit der der Invarianten und Kovari- 
anten von n Elementen im Raum von n—2 Di- 
mensionen derart, daß den Vertauschungen der 
Wurzeln untereinander die linearen Transfor- 
mationen dieses Raumes entsprechen. Schon dort 
wird im Anschluß an das Vierseit in der Ebene, 
das Sylvestersche Pentaöder der Fläche dritter 
Ordnung, auf die allgemeine Gleichung vierten 
und fünften Grades hingewiesen und die von 
C. Jordan behandelte Theorie der Wendepunkte 
der allgemein ebenen Kurve dritter Ordnung 
dargelegt. Weit wichtiger aber wird die geo- 
metrische Repräsentation der allgemeinen Glei- 
chung sechsten Grades, welche die Wurzeln durch 
sechs gegenseitige in Involution liegende lineare 
Komplexe darstellt und zu Resolventen zehnter 
and fünfzehnter Ordnung führt. So treten hier 
die Anfänge von Kleins späteren großen Arbeiten 
über die Gleiehungen siebenten Grades bereits im 
Keime hervor. 
Die Göttinger Nachrichten von 1871 (8. 44) 
greifen nochmals auf die Haupttangentenkurven 
der Kummerschen Fläche zurück. An die Stelle 
der früheren geometrischen Überlegung tritt jetzt 
ein neues Moment, die wirkliche Integration der 
Differentialgleichungen dieser Kurven, die nach 
Analogie der elliptischen Koordinaten sich aus- 
führen läßt. 
Und endlich ist noch der Note vom Juni 1871 
(in den Math. Annalen IV) zu gedenken über 
Voß: Felix Klein als junger Doktor. 
Die Natur- 
wissenschaften 
den Zusammenhang der Mechanik starrer Körper 
mit der Liniengeometrie. Hier wird zunächst die 
schon von Plücker erkannte Identität des Null- 
systems von von Staudt und A. F. Möbius mit dem 
linearen Komplex hervorgehoben, und der Satz. 
daß die konjugierten Geraden des Komplexes sol- 
che sind, nach denen Kräfte resp. unendlich 
kleine Rotationen auftreten müssen, wenn sie 
mit einem gegebenen Kraftsystem resp. einer ge- 
eebenen unendlich kleinen Rotation äquivalent 
sind. Sodann werden nach Plücker die 6 Koordi- 
naten der Geraden den Intensitäten einer Kraft 
resp. einer unendlich kleinen Rotation proportional 
gesetzt, womit deren Komponenten und Drehungs- 
momente bestimmt sind. Und nun setzen sich 
Kräfte und Rotationen zusammen durch Addition 
dieser Koordinaten. Genügt ein so entstandenes 
System von 6 Koordinaten der Plückerschen 
Identität, so kann es durch eine Einzelkraft resp. 
durch eine unendlich kleine Rotation ersetzt wer- 
den. Der physikalische Zusammenhang zwischen 
Kräften und unendlich kleinen Bewegungen aber 
wird durch die Arbeit bezeichnet, welche das ge- 
gebene Kraftsystem bei einer gegebenen unend- 
lich kleinen Bewegung leistet. Ist diese Arbeit 
Null, so läßt sie sich in dualistischer Weise auf- 
fassen, denn die homogene lineare Gleichung 
zwischen den Koordinaten des Kraftsystems 
stellt dann eine unendlich kleine Rotation vor, 
und umgekehrt wird durch eine solche Gleichung 
zwischen den Koordinaten einer unendlich klei- 
nen Bewegung ein Kräftesystem bestimmt, so daß 
es sich um die durch den Arbeitsbegriff vermit- 
telte Involution linearer Komplexe handelt. Diese 
an und für sich sehr einfachen Bemerkungen sind 
später im Sinne einer eigentlichen Dynamik vo» 
R. S. Ball ausgebildet; sie durften hier wohl nicht 
übergangen werden, da sie die Veranlassung zu 
I. Lindemanns Dissertation über „Unendlich 
kleine Bewegungen und Kraftsysteme bei allge- 
meiner projektiver Maßbestimmung“ gegeben 
haben. 
Für den Winter 1871 hatte Klein als Vor- 
lesung angezeigt: „Über die Wechselwirkung der 
Naturkräfte und das Gesetz von der Erhaltune 
der Kraft“, vierstündig (außerdem geometrische 
Übungen), ein Zeichen, wie seine Interessen 
immer noch zwischen Physik und Mathematik 
hin- und hergingen. Außerdem beschäftigten ihn 
vielfach allgemeine Fragen, so namentlich die 
Bildung einer Mathematikervereinigung, deren 
Zweck nicht so sehr in akademischen Vorträgen. 
sondern in der durch den gegenseitigen Verkehr 
ermöglichten Aussprache über gemeinsame Inter- 
essen der Forschung bestehen sollte. Sie kam 
freilich erst Ostern 1874 in Göttingen zustande. 
Aber daß. es seit der Naturforscherversammlung 
zu Heidelberg 1889 zur Bildung der Deutschen 
Mathematiker-Vereinigung kam, die gegenwärtig 
770 Mitglieder zählt und eine große wissen- 
schaftliche Tätigkeit entfaltet hat, wird man 
jedenfalls auch diesen ersten Anregungen Kleins 
