

Heft 17. 
25. 4. 1919 
za danken haben, die in den „Bremer Beschlüs- 
sen“ 1890 feste Gestalt gewannen. 
Das Jahr 1872 ist wieder durch einen Reich- 
tum an neuen Gedanken ausgezeichnet. Da 
zunächst der für die Liniengeometrie fundamen- 
tale Satz (Göttinger Nachrichten März 1872) zu 
erwähnen, daß jeder Linienkomplex durch eine 
Gleichung X=0 zwischen seinen Plückerschen 
Linienkoordinaten dargestellt werden kann, weil 
aus einer Mannigfaltigkeit von » > 4 Dimen- 
sionen, aus der durch eine quadratische Glei- 
chung P = 0 eine M,_, ausgeschieden ist, jede in 
der letzteren enthaltene M, >» durch eine weitere 
Gleichung ausgedrückt werden kann, falls nicht 
alle fünfreihigen Unterdeterminanten von P gleich 
Null sind. Der Beweis wird durch Abbildung von 
P=0 geführt; überhaupt hat sich Klein in jener 
Zeit viel mit der algebraischen Abbildung von 
Komplexen beschäftigt. — Auch der Plan zu 
einem Lehrbuch der Liniengeometrie, der aller- 
dings nie ausgeführt wurde, ist damals schon ent- 
worfen. Und in einem Briefe an Nöther vom 
13. März 1872 berichtet er schon über die fünf 
Typen der Flächen dritter Ordnung, die er nach 
ihrem Zusammenhang mit den fünf Klassen von 
L. Schläfli entsprechend findet und zugleich 
übersichtlich durch Modelle darzustellen wußte. 
Diese Bemerkungen deuten schon auf die in den 
Math. Annalen VI, 1873, veröffentlichte Arbeit 
über Flächen dritten Grades hin, in der Über- 
legungen, die bisher nur für Kurven in der Ebene 
verwandt waren, im Sinne der Analysis situs 
benutzt wurden, sowie auf die merkwürdige aus 
dem Jahre 1876 stammende „Neue Relation zwi- 
schen den Singularitäten einer algebraischen 
Kurve“. 
Die bereits vom November 1871 datierte Ar- 
beit von Jie: „Über Komplexe, insbesondere 
Linien- und Kugelkomplexe mit Anwendung auf 
partielle Differentialgleichungen“, welche im leb- 
haftesten Verkehr mit Klein entstanden war und 
manche Gedanken desselben in sich aufgenommen 
hat, erschien 1872 im Band V der Math. Annalen, 
S. 145. Sie enthält neben den Grundzügen einer 
Differentialgeometrie der Liniengebilde insbe- 
sondere den merkwürdigen und völlig neuen Zu- 
sammenhang zwischen Linien- und Kugelgeo- 
metrie, derart, daß den Haupttangentenkurven der 
ersten Geometrie die Kriimmungslinien der zwei- 
ten entsprechen. Hieran schloß sich die ebenfalls 
sehon im Oktober 1871 eingereichte Arbeit von 
Klein über Liniengeometrie und metrische Geo- 
metrie, die in viel weiterem Umfange, wie z. B. 
in den gleichzeitigen Untersuchungen von Dar- 
houx über Orthogonalsysteme in höheren Räumen, 
den Zusammenhang zwischen der Liniengeometrie 
und der metrischen Geometrie eines Raumes von 
vier Dimensionen, resp. der Geometrie des line- 
aren Komplexes und der metrischen Geometrie 
des gewöhnlichen Raumes begründet. 
Hier findet sich zuerst die Auffassung der 
Liniengeometrie als Geometrie einer quadrati- 
Voß: Felix Klein als junger Doktor. 
ist! 
285. 
schen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen im 
Raum von fünf Dimensionen. Aber noch mehr. 
Die metrische Geometrie eines Raumes R„_ı von 
»—1 Dimensionen läßt sich als stereographische 
Projektion der Geometrie auf einer im nächst 
höheren Raume fF, gelegenen „Fläche“ oder 
Mannigfaltigkeit zweiten Grades M2, ansehen, 
wobei nun im Raume R„-; als Fundamentalgebilde 
eine M}4, auf der M2_, aber der gewählte Pro- 
jektionspunkt als solches auftritt. Den linearen 
Transformationen des R„_), bei denen das Fun- 
damentalgebilde MJ, ungeändert bleibt, ent- 
sprechen dann diejenigen Transformationen des 
Ra, welche die gegebene „Fläche“ M?_, und 
ihren Projektionspunkt nicht ändern. 
Und nun zeigt sich, wie es möglich wird, die 
Lehre von den Krümmungslinien und Orthogonal- 
systemen auf Linjengeometrie zu übertragen, wo- 
bei sich zugleich die Bestimmung der Haupt- 
tangentenkurven einer großen Zahl von Flächen 
ergibt. 
In dem weiteren Aufsatze „Über gewisse in 
der Liniengeometrie auftretende Differential- 
gleichungen“ wird dagegen für Komplexe zweiten 
Grades mit gemeinsamer singulärer Fläche mit. 
Hilfe der elliptischen Koordinaten Jacobis eine 
ganze Reihe von Integrationsproblemen erledigt. 
So für den allgemeinen Komplex zweiten Grades 
die Aufgabe 1. diejenigen Kongruenzen, deren 
Geraden Haupttangenten ihrer Brennflächen 
sind, 2. die von den Linien der zwei solchen 
Komplexen mit derselben singulären Fläche ge- 
meinsamen Kongruenz umhüllten Kurven zu be- 
stimmen, nebst anderen Erweiterungen. 
Für den Winter 1872/73 hatte Klein beab- 
sichtigt, eine Vorlesung über analytische Geo- 
metrie des Raumes zu halten. Da kam der Ruf 
als ordentlicher Professor der Mathematik nach 
Erlangen, der ihn, der von allen wohl am tiefsten 
in die Forschungen von Staudts eingedrungen 
war, zu dessen, wenn auch nicht unmittelbarem 
Nachfolger machte. Aber schon am 7. November 
erlag Clebsch. zu allgemeiner Bestürzung einer 
tückischen Krankheit. Tief erschüttert reiste 
Klein wieder nach Göttingen, und seine Be- 
mühung ging zunächst dahin, dem hochverehrten 
Lehrer und Freunde ein literarisches Denkmal zu 
setzen. So entstand der „Versuch einer Dar- 
leeung und Würdigung der wissenschaftlichen 
Leistungen von Clebsch von seiten einiger seiner 
Freunde“. Zu demselben lieferten Referate über 
die Arbeiten von Clebsch in der mathematischen 
Physik, den partiellen Differentialgleichungen 
und der Variationsrechnung, der Geometrie, der 
Abelschen Funktionen und ihrer Verwendung in 
der Geometrie der Kurven und Flächen, der Ab- 
bildung der algebraischen Flächen und der In- 
variantentheorie die Mathematiker des ganzen 
Kreises, der sich um Clebsch als Mittelpunkt ge- 
bildet hatte, die Herren K. von der Mühll, A- 
Mayer, J. Lüroth, A. Brill, M. Nother, P. Gordan, 
