
Heft 17. 
25. 4. 1919 
burtstag aufs neue in schönster Weise bestätigen, 
welchen Segen die Wirksamkeit eines deutschen 
Professors weithin verbreitet hat. 
Klein und die Mathematik der letzten 
fünfzig Jahre. 
Von Prof. Dr. W. Wirtinger, Wien, 
Inter arına silent musae. Von Herzen hätte ich 
gewünscht, daß wir in ruhiger und ungetrübter 
Betrachtung uns die Wurzeln, die Vorbedingun- 
gen, die treibenden Kräfte von Kleins Wirksam- 
keit hätten vor Augen führen können, und das 
Unterscheidende und Gemeinsame mit anderen 
großen Gelehrtennaturen uns zum Bewußtsein 
bringen. Das Schicksal hat es anders gewollt. Nach 
den wechselvollen Ereignissen der letzten Zeit 
suchen nicht nur die Staaten, nein, sucht über- 
haupt die menschliche Gesellschaft nach neuen 
Formen und nach neuer Ordnung für die im 
Grunde immer gleichen Triebe des Einzelwesens. 
Eine Welt ist in Trümmer gegangen und wir 
müssen uns eine neue aufbauen. Ich meine nieht 
unsere Wissenschaft, denn was wir in der Monar- 
chie bewiesen haben, bleibt auch in der Republik 
wahr. Vielmehr denke ich dabei an die ganze 
Stellung der reinen Wissenschaft in der künfti- 
gen Gesellschaftsordnung, deren Umrisse wir 
langsam heraufkommen sehen. 
fis ist mir nicht zweifelhaft, daß wir mehr 
ala bisher die Notwendigkeit und die Bedeutung 
unserer Wissenschaft öffentlich vertreten müssen, 
und zwar mit Gründen, welche auch dann noch 
ihre Tragkraft behalten, wenn sie nicht mehr 
durch überlieferte Werturteile über Kultur- 
formen mehr gefühlsmäßig gestützt werden. Wir 
werden vielmehr in einleuchtender Weise weite- 
ren Kreisen klarlegen müssen, daß unsere Wissen- 
schaft und ihre Lehre auf dem Wege des Fort- 
schrittes der menschlichen Entwicklung ein För- 
derer und Wegweiser ist, der Pflege und Geltung 
reichlich lohnt. Für den Mathematiker selbst ist 
die Wissenschaft gewiß ebenso Selbstzweck, wie 
für den Künstler die Kunst. Die Lösung der 
Spannungen, welche die ungelöste Aufgabe bietet, 
die durch diese gewonnene Herrschaft über die 
‚Begriffe und endlich die Macht, welche die Ein- 
sicht oft auf dem Gebiete der Wirklichkeit gibt, 
sind dem Fachmann geistige Bedürfnisse, denen 
er sich nicht entziehen kann. Aber das sind 
innere Erlebnisse, die der Mitteilung bedürfen, 
um auch in andern wirksam zu werden, einer 
Mitteilung, für welche die Empfänger viel mehr 
eigenartige Vorbedingungen erfüllen müssen, als 
. für die künstlerische. Man kann es auch. ver- 
stehen, daß die Mitteilung eines solchen inneren 
Erlebnisses für manche unter den größten mehr 
eine lästige Pflicht war, da ja das Hauptziel, die 
eigene Klarheit, schon erreicht war. 
Klein hat niemals mit der Mitteilung seiner 
Ergebnisse gekargt und auch die Wege, auf denen 
er vordrang, hat er immer offen dargelegt. Seine 
Wirtinger: Klein und die Mathematik der letzten fiinfzig Jahre. 
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Anfänge kamen von Plücker und von Clebsch, von 
denen der erste ein Meister der Anschauung, der 
zweite ein ebensolcher des Kalküls war, und die 
Architektur der Algebra geradezu künstlerisch 
handhabte. Der erste, wird vielleicht durch die 
Freude an der Gestalt, der zweite durch die 
Durchsichtigkeit der Darstellung und die Fähig- 
keit, weitumfassende Gedankenkreise fruchtbar zu 
verbinden, für Klein besonders förderlich ge- 
wesen sein, beide aber durch die Begeisterung. 
mit der sie ihrer Wissenschaft lebten. In der Tat 
fällt es schwer, seine weitere Entwicklung an die 
streng systematische und in dieser Zeit — Ende 
der sechziger Jahre — noch mit der Gestaltung 
des spröden Stoffes ringende Weierstraßsche 
Richtung anzuschließen, für welche die Erledi- 
gung eines bestimmten Problems an und für sich 
eine grundlegende Forderung bildete, während 
Klein die Wechselbeziehungen verschiedener Teile 
der Mathematik besonders lebendig und frucht- 
bar zu machen verstand. Das zeigt sich schon in 
der ersten Periode seiner Wirksamkeit, die man 
von 1869 bis etwa 1874 rechnen kann und deren 
Hauptleistungen die Arbeiten zur Nichteuklidi- 
schen Geometrie und das Erlanger Programm von 
1872 sind, das unter dem Titel ‚Vergleichende 
Betrachtungen über einige neuere geometrische 
Forschungen“ den Begriff der Gruppe als ord- 
nendes und zusammenfassendes Prinzip in der 
Geometrie aufweist und darüber hinaus die neuen 
Probleme, die daraus entspringen, skizziert. Es 
ist interessant, daß das uns heute so geläufige 
Wort „Gruppe“ bei Klein selbst 1871 im Titel 
einer mit Lie zusammen verfaßten Arbeit noch 
umschrieben wird mit dem Worte: geschlossenes 
System von Transformationen. Aber darüber be- 
richten ja andere in diesem Hefte ausführlicher. 
Zum ersten Male erscheint 1874 der Name Rie- 
manns im Titel der Arbeit „Über eine neue Art 
Riemannscher Flächen“. Hier wird für reelle Tan- 
genten der Berührungspunkt, für imaginäre aber 
der einzige reelle Punkt derselben als Bild des 
Kurvenpunktes resp. der Stelle des algebraischen 
Gebildes aufgefaBt. Das Dualitätsprinzip, die 
Staudtsche Imaginärtheorie, die allgemeine Auf- 
fassung der Riemannschen Mannigfaltigkeit mit 
einer quadratischen Differentialform sind hier mit 
einemmal in der einfachsten Weise in Beziehung 
gesetzt und für die reellen Züge algebraischer 
Kurven, also anschauliche Fragen verwertet. 
Der Name Riemann kehrt seither immer wie- 
der, und es hat wohl kein Mathematiker soviel 
für das Verständnis und die Fruchtbarmachung 
von dessen Ideen getan, wie gerade Klein. Die 
Durehdringung und Verbindung der ursprüng- 
lichen Riemannschen Gedanken mit allen den Ge- 
sichtspunkten der Invariantentheorie, der Zahlen- 
theorie und Algebra, der Gruppentheorie, der 
mehrdimensionalen Geometrie, sowohl auf dem 
Gebiete der Abelschen Funktionen als auch auf 
den eigensten Gebieten Aleins, den Modulfunktio- 
nen und den automorphen Funktionen gehört zu 
