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Heft al 
25. 4. 1919 
Alter von 22 Jahren. Für die mathematische All- 
tagswelt haftete einer Geometrie, in der das eukli- 
-dische Parallelenaxiom nicht gelten sollte, immer 
noch eine Art paradoxen Beigeschmacks an. Gauß 
hatte seine ausgedehnten Resultate, wie wir aus 
einem Brief an Bessel wissen, bei seinen Lebzeiten 
völlig zurückgehalten; er scheue, schrieb er, das 
Geschrei der Böoter, wenn er seine Ansichten ganz 
aussprechen wolle. Die Lehrgebäude, die Lo- 
batschefsky schon 1829 und bald darauf Bolyai 
errichtet hatten, waren infolgedessen zunächst 
ziemlich unbeachtet geblieben; selbst auf die be- 
vorzugten Köpfe übten sie eine stärkere Wirkung 
erst aus, als die Gaußischen Ideen aus seinem 
1862 veröffentlichten Briefwechsel mit Schu- 
macher bekannt wurden und allmählich das 
Schwergewicht des Gaußischen Namens zu wir- 
ken begann. Aber doch galt alles Nichteuklidische 
für die große Masse der Mathematiker immer 
noch als etwas, was zwar durch seine merkwürdige 
Eigenart anzog, aber sozusagen jenseits der eigent- 
lichen Mathematik existierte und ohne Beziehung 
zu realen Problemen war. Ein Wandel entstand 
erst, als Riemann und Helmholtz die Kraft ihres 
Genies an die Durchleuchtung der allgemeinen 
Grundlagen der Geometrie setzten, und man er- 
fuhr, wie sie die nichteuklidischen Auffassungen 
in das Gesamtgebiet der Geometrie einordneten. 
Doch war bei beiden die mathematische Betrach- 
tung noch ziemlich stark mit spekulativen Gedan- 
ken verquickt. Dies erleichterte denen, die Gauß 
als Böoter gekennzeichnet hatte, die Angriffe und 
die Skepsis und erschwerte so einen durchgreifen- 
den Umschlag. Es bedeutete daher einen wich- 
tigen Schritt vorwärts, als Beltrami, nicht lange 
vor dem Eingreifen Kleins, in den Raumgebilden 
konstanter Krümmung die Träger eines greifbaren 
Bildes der nichteuklidischen Theoreme aufdeckte; 
indem er zeigte, daB deren geodatische Linien — 
kurzgesprochen — die nämliche Geometrie be- 
stimmen, wie die Geraden der nichteuklidischen 
Räume. Immerhin blieb aber die Frage offen, 
ob es nicht einen Zirkelschluß bedeutet, wenn man 
mit Begriffen, die durchweg aus dem Euklidischen 
stammen, die Wahrheit und Folgerichtigkeit nicht- 
euklidischer Lehren ableitetet). Es ist eins der 
Hauptverdienste Kleins, daß er die reinliche Aus- 
sonderung der spezifisch mathematischen Pro- 
bleme und ihre Befreiung von allem metaphysi- 
schen Beiwerk sowohl als notwendig, wie als mög- 
lich erkannt hat; er hat der nichteuklidischen 
Geometrie ein volles und unbestrittenes Bürger- 
recht in der Mathematik erkämpft und sie zu 
sowie das Vorlesungsheft über nichteuklidische Geo- 
metrie vom Jahre 1893. 
Uber den allgemeinen historischen Werdegang vel. 
man Bonola, Die niehteuklidische Geometrie, übers. v. 
Liebmann, Leipzig 1908. 
1) Selbst Cayley meinte, trotz der v. Staudtschen 
Einführung des Zahlenraums sei wenigstens noch der 
Schein eines Zirkelschlusses vorhanden; Collected 
papers (1889) Bd. II, S. 605. 
Nw. 1919. 
Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
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einem der reizvollsten und zugleich anwendungs- 
reichsten Wissensgebiete erhoben. 
Eine glänzende mathematische Phantasie mit 
dem sicheren Blick für das Erreichbare verbin- 
dend, von dem hohen Wert anschauungsmäßigen 
Erfassens geometrischer Wahrheiten erfüllt, zu- 
gleich stark physikalisch interessiert und daher im 
Rahmen der natürlichen Problemstellungen blei- 
bend, niemals dogmatisch, sondern stets realistisch 
denkend, war Klein wie geschaffen, um im Bereich 
der nichteuklidischen Tatsachen und Zweifel 
klärend und reinigend zu wirken. Diesem seinem 
mathematischen Naturell folgend, war er sich von 
vornherein klar, daß es nicht Zweck der Mathe- 
matik war, eine Entscheidung philosophischer 
Fragen zu treffen. Sie hatte nur zu prüfen, ob- 
das Parallelenaxiom eine Folge der übrigen 
Axiome ist oder nicht; die Frage nach seiner ob- 
jektiven Geltung oder nach der Eigenart unseres 
empirischen Raumes konnte und sollte sie nicht 
vor ihr Forum ziehen. Zwar ist und war auch 
Klein philosophisch interessiert. Er hat sich über 
Ursprung und Wesen der Axiome öfters eingehend 
ausgesprochen, aber stets von dem Bewußtsein ge- 
tragen, daß den Mathematiker als solchen die be- 
sondere Stellung, die er erkenntnistheoretisch ein- 
nehmen mag, ebensowenig beeinflussen dürfe, wie 
die Mathematik selbst. Der jugendliche Forscher 
erkannte daher seine wissenschaftliche Aufgabe 
ausschließlich darin, ein in sich konsequentes 
Lehrgebäude jeder möglichen Geometrie aufzu- 
bauen, die axiomatischen Voraussetzungen, deren 
man dazu bedarf, mit aller Schärfe und Deutlich- 
keit herauszuschälen und sie in ihrer mathemati- 
schen Tragweite zu prüfen. Under stand in dieser 
Weise nicht nur dem Parallelenaxiom gegenüber, 
sondern auch den sonstigen axiomatischen Vor- 
aussetzungen, und war bestrebt, sie eine nach der 
andern zum Ausdruck zu bringen. Er muß in- 
sofern als ein durchaus bewußter Vorgänger der 
allgemeinen axiomatisch-geometrischen Unter- 
suchungsrichtung geltent), die ungefähr 10 Jahre 
später in voller Ausdehnung einsetzte; zuerst bei 
Pasch und dann später von Hilbert vervollkomm- 
net und vollendet. 
Die Eigenart des geistigen Schaffens, die wir 
am Kleinschen Genius bewundern dürfen, trug 
auf dem Gebiet der nichteuklidischen Probleme 
von vornherein den Stempel notwendigen Gelin- 
gens. Ich rechne dahin die immer allseitige und 
umfassende Problemstellung, die sichere Intuition 
für den inneren Zusammenhang scheinbar frem- 
dester Einzelresultate, die leiehteste Aneignung 
und Durchdringung der vorhandenen Literatur 
und ein glänzendes Geschick für ihre Verein- 
fachung und gleichzeitige Vertiefung, für ihre 
Vereinheitlichung und ihre Gestaltung zu einem 
plastischen Bilde. So stets im gegebenen wissen- 
schaftlichen Boden wurzelnd, hat sein mathema- 
tisches Schaffen Erfolge von überraschender- 
1) Den wesentlichsten Anstoß zu dieser Denkweise 
dürften Riemann und Helmholtz gegeben haben. 
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