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Fruchtbarkeit und Tragweite gezeitigt. Und 
wohl nirgends hat sich diese Eigenart erfolgreicher 
erwiesen, als in seinen nichteuklidischen Unter- 
suchungen. Erst durch Klein ist nichteuklidi- 
sches Denken wissenschaftliches Gemeingut der 
Forschung geworden; weiten Gebieten des 
Schaffens und Fortschreitens hat er dadurch 
neues Blut und neues Leben eingeflößt. 
Als Klein seine nichteuklidischen Studien be- 
vann, lag für die Geometrie der Lage ein Lehr- 
vebiiude in methodischer Vollkommenheit und fast 
tückenloser Schärfe und Beweiskraft bereits zwei 
Jahrzehnte hindurch vor: das Lehrgebäude, das 
Ohr. v. Staudt mit der Vollkraft geometrischen 
Schauens errichtet hattet). Ebenso bestand seit 
über 10 Jahren eine allgemeine Theorie der Mab- 
bestimmung, die Englands damaliger erster Mathe- 
matiker A. Cayley geschaffen hatte?); eine Theo- 
rie, die sich auf formentheoretischer Grundlage 
erhebt und die gewöhnliche euklidische Maßbe- 
stimmung als Modell benutzt. Sie gipfelt in 
einem doppelten Resultat. Erstens .erweisen sich 
die metrischen Eigenschaften einer Figur nicht 
als Eigenschaften, die ihr an sich zukommen, son- 
dern vielmehr als projektive Beziehungen zu einem 
gewissen „absoluten“ Grundgebilde, und zweitens 
ordnen sich auf diese Weise die metrischen Eigen- 
schaften in das umfassende Gebiet der allgemeinen 
projektiven Beziehungen ein. Beider Männer 
Geistesarbeit hatte aber den Jünger, der sie zu 
werten und zu meistern und harmonisch zu ver- 
binden verstand, noch nicht gefunden. Ist doch 
der Teil der Staudtschen Schriften, der durch die 
Abstraktheit seiner Gedanken und Beweise dem 
Eindringen die meiste Schwierigkeit darbietet, 
nämlich die Theorie der Würfe und die Erörte- 
rung der imaginären Gebilde, erst nach Klein, 
und vielleicht sogar erst unter der Wirkung seiner 
Arbeiten, einem größeren Publikum erschlossen 
worden. Die geringe Ausbreitung der Cayleyschen 
Resultate ist weniger verständlich; aber auch 
Cayleys Vorgänger, Laguerre, hatte im wesent- 
lichen ein gleiches Geschick getroffen?). An- 
wendbarkeit und Tragweite ihrer Resultate mußten 
offenbar so lange in der Tiefe schlummern, bis 
sie durch Kleins intuitives Erfassen zum Leben 
und Wirken erweckt wurden. Jedenfalls ist Cay- 
ley selbst an der — man muß heute sagen offen- 
kundigen — Beziehung seiner Resultate zum 
Nichteuklidischen vorbeigegangen. Sie lagen nicht 
auf seinem Wege. Für ihn handelte es sich nur 
darum, die tatsächliche geometrische Maßbestim- 
mung auf der Graden und im Strahlbüschel, wie 
sie in der Ebene und auf der Kugel gilt, als Son- 
derfälle seines allgemeinen Ansatzes nachzuwei- 
2); Geonieties der Lage, und Beitrige zur Geomctrie 
der Lage, Nürnberg 1847 und Erlangen 1856/57. 
=) A sixt Memoir upon quanties; Philos. Trans- 
actions, Bd. 149 (1860), S. 82. 
3) Von Laguerre stammt die Definition des Winkels 
mittels des Doppelverhälthisses ‘der Schenkel gegen 
die Strahlen nach den Kreispunkten; Nouv. Ann. de 
math. Bd. 12; (1853), S.:'64.: ! ; ‘ 
Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
Die Natur- 
wissenschaften 
sent). Daß sich die drei Fälle möglicher Mab- 
bestimmung, die in den drei Geometrien ge. “ten, 
unmittelbar ergeben, wenn man das Cayleysche 
absolute Gebilde geeignet wählt, konnte erst 
jemand erkennen, bei dem der Blick für die Ver- 
wandtschaft mathematischer Gesetze so entwickelt 
war, wie bei Klein. Und diese Erkenntnis mußte 
um so stärker wirken, als doch klar war, daß man 
es hier nicht, wie bei der Beltramischen Deutung, 
mit einem unvollkommenen Abbild der nicht- 
euklidischen Beziehungen zu tun hatte, sondern 
mit ihrem ureigensten inneren Wesen. 
Für Klein ist es stets ein wissenschaftliches 
Gebot gewesen, die Darstellung geometrischer 
Dinge den anschaulichen Bedürfnissen anzupassen; 
er wußte, daß geometrische Wahrheiten ohne gleich- 
zeitige Vorstellbarkeit nur unvollkommen ver- 
standen werden. Der von Cayley eingeschlagene 
Weg, der direkt von den Koordinaten ausgeht, war 
daher für -ihn nicht gangbar. Die Cayleysche 
Maßbestimmung mußte vielmehr in neuer und 
freier Weise auf projektiver Grundlage aufgebaut 
werden. Es gelang ihm, indem er dem algebraisch 
starren Gerüst der Cayleyschen Formentheorie die 
Beweglichkeit des projektiven Messens einflößte; 
sie führte ihn selbsttätig zu den linearen Trans- 
formationen und zu ihren Gruppen. Auch heute 
noch wird man die große Wirkung nachempfinden, 
die die Kleinschen Gedankengänge durch ihre 
Einfachheit, durch die Energie ihrer Gedanken 
und die ihnen innewohnende wissenschaftliche 
Überzeugungskraft auf die damalige mathemati- 
sche Welt unzweifelhaft ausgeübt haben. 
Klein geht, wie Riemann, von der natürlichen 
Frage aus, worin überhaupt das Messen besteht, 
und nach welchen Regeln es vor sich geht. Sieht 
man von den evidenten Gesetzen der Addierbar- 
keit der Strecken und Winkel ab?), so setzt es in 
erster Linie die Herstellung eines Maßstabes vor- 
aus; d. h. also, die Erzeugung einer mathemati- 
schen Skala, die, von einer irgendwie gewählten 
Einheit ausgehend, zu allen Längen führt, die ein 
Vielfaches oder einen rationalen Teil der Einheit 
darstellen. Das Zweite ist die besondere Art der 
Benutzung des Maßstabes; sie ruht darauf, daß 
die Skala so in sich verschiebbar sein muß, wie 
dies einem Maßstab eigen ist; eine Bewegung, die 
einen Skalenteil in einen andern überführt, muß 
dies für jeden Skalenteil leisten, während sie 
alles, was „unendlich fern“ ist, naturgemäß fest- 
läßt. Gemäß der Cayleyschen Grundanschauung 
ist aber die Metrik eine Beziehung projektiver Art 
zu einem gewissen absoluten und invarianten Ge- 
bilde. Jede der eben genannten Bewegungen des 
Maßstabes erweist sich daher als eine eindeutige 
1) Cayley erkannte insbesondere, daß sein absoluter 
Kegelschnitt, der in der Ebene in ein Punktepaar zer- 
fällt, auf der Kugel ein Kreis ist, und zwar ein 
imaginärer, und daß dies die Ursache der vollen 
Dualität der sphärischen Geometrie ist (a. a. O. S. 89). 
Ob Cayley die Arbeit von Laguerre karate vermag 
ich nicht zu sagen. 
2) Es ist 22+3=13; 122-+91= 
O usw. 

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