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25.4. 1919: 
und projektive, also lineare Transformation, und 
zwar als eine, bei der einerseits die unendlich- 
fernen Elemente, andererseits auch die Elemente 
des absoluten Gebildes fest bleiben; diese Elemente 
stellen daher sowohl die Doppelelemente der linea- 
ren Transformation wie auch die Elemente von 
Cayleys absolutem Gebilde dar. Damit war die 
Kette der Argumente geschlossen, und die Einord- 
nung der Cayleyschen Metrik in die projektive 
Geometrie erreicht. Wählt man als absolutes Ge- 
bilde insbesondere zwei reelle, zwei imaginäre, 
oder zwei zusammenfallende Elemente — womit 
alle Möglichkeiten erschöpft sind —, so erstehen 
die Maßbestimmungen mit zwei reellen unendlich- 
fernen Elementen, zwei imaginären, oder einem 
reellen; also die Lobatschefskysche Geometrie, die 
euklidische, und endlich diejenige, auf die Rie- 
mann zuerst hingewiesen hat, und bei der die 
Gerade eine endliche Länge besitzt. Sie ist in 
demjenigen Elementargebilde realisiert, das der 
Geraden dualistisch gegenübersteht, nämlich im 
Strahlenbüschel; die Gesamtheit alter Winkel be- 
sitzt den Wert 2 x, und ihr absolutes Gebilde wird 
von den nach den imaginären Kreispunkten zie- 
lenden Strahlen gebildet. 
Eine lineare Transformation ist nur in einem 
Zahlenraum ausführbar. Mit Riemann und Helm- 
holtz von vornherein den geometrischen Konstruk- 
tionsraum als Zahlenraum einzuführen, war für 
den Krbauer eines geometrischen Gebäudes nicht 
aneängig. Aber der Meister aller projektiven Bau- 
kunst, Chr. v. Staudt, hatte ja, wie oben erwähnt, 
den Bau bereits im wesentlichen errichtet und 
die Umwandlung des geometrischen Raumes in den 
Zahlenraum gelehrt. Auf die Fundamente des 
Baues und die Art seiner Aufmauerung näher ein- 
zugehen, kann unterbleiben. Es genüge der Hin- 
weis, daß Klein von vornherein die Lücken er- 
kannte, die noch zu verkitten waren, und auch 
über den Kitt, der die Festigkeit des Baues ver- 
bürgte, nicht im Zweifel war. Um zweierlei han- 
delte es sich. ‘Die Staudtsche Darstellung ruhte 
auf dem Parallelenaxiom und mußte deshalb von 
dieser ihrer Grundlage befreit werden. Es gelingt, 
indem man alle Konstruktionen zunächst in einem 
endlichen Raumteil vornimmt, den man dann zu 
erweitern, und falls nötig, durch ideale (uneigent- 
liche) Elemente zu ergänzen hatt); was ja schließ- 
lieh im euklidischen Raum durch Hinzufügung der 
unendlichfernen Elemente in ganz analoger Weise 
geschieht. Freilich entsteht dabei zunächst die 
Schwierigkeit, daß ein Grundelement, wie die Ge- 
rade, dem begrenzten Raumteil, in dem man 
operiert, nicht völlig angehört, und daß daher die 
Konstruktionen und Beweise, die zur Bestimmung 
des vierten harmonischen Punktes nötig sind, in 
ihm illusorisch werden können. Da aber in 
jedem Raumteil vollstandige Grundgebilde erster 
und höherer Stufe, nämlich Büschel und Bündel 
1) Ein Hinweis auf solche idealen Elemente findet 
sich bereits bei Beltrami, Giorn. di mat Bd. 5 (1867), 
5. 299. 
Schoeuflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
-durchfithren 
291: 
vorhanden sind, so lassen sich die Staudtschem 
Konstruktionen und Beweisgänge zunächst für sie 
und dann auf die unbegrenzten: 
Grundgebilde, mittels Hinzunahme der idealen 
Elemente übertragent). Klein zeigt dies sogar in 
der Weise, daß er nicht mit Geraden und Ebenen, 
sondern allgemeiner mit Kurven und Flächen ope- 
riert, die den für den projektiven Aufbau grund- 
legenden Axiomen des Schneidens und Verbindens 
und der Anordnung genügen. Die zweite notwen- 
dige Ergänzung des Staudtschen Lehrgangs be- 
stand in der axiomatischen Einführung der geo- 
metrischen Stetigkeit und ihrer Beziehung zur 
Irrationalzahl?). Heute, wo uns der Gegensatz 
zwischen der abzählbaren Menge und dem Konti- 
nuum so geläufig ist, wie das Einmaleins, ist es 
ja evident, daß ein konstruktives Verfahren. 
das mit einer endlichen Zahl von Grundpunkten 
beginnt, nur eine abzählbare Menge von Konstruk- 
tionspunkten liefern kann, und daß daher jeder 
Beweis des Fundamentalsatzes, der nicht durch ein 
Axiom über die Abzählbarkeit hinausführt, ver- 
sagen muß. Klein hat hierzu in seinem zweiten 
Artikel zuerst des näheren Stellung genommen; 
indem er die Forderung aufstellt, daß jede auf 
einem Grundelement erster Stufe vorhandene 
Reihe unendlich vieler konstruktiver Punkte ein 
Grenzelement bestimmen soll, das dem Gebilde 
angehört und zugleich alle axiomatischen Eigen- 
schaften der Konstruktionspunkte besitzt?). Da- 
mit war die Stetigkeit des Raumes auf projektiver 
Grundlage für das damalige mathematische Den- 
ken in der gleichen Weise eingeführt, wie die 
Irrationalzahl von Cantor und Dedekind. Genau 
genommen muß man freilich auch noch das archi- 
medische Axiom voraussetzen, dessen Einführung 
und Bedeutung man erst in späterer Zeit zu 
würdigen gelernt hat?). Nachdem sodann 
noch im Anschluß an Kleins Arbeiten der Beweis 
geführt war, daß’ die Staudtschen Konstruktions- 
punkte das Elementargebilde überall dicht be- 
decken, war der Beweis des Fundamentalsatzes 
einwandfrei erledigt. Klein selbst hat dafür spä- 
ter noch eine eigene Darstellung gegeben, um 
auch hier dem Bedürfnis nach einfacher und an- 
schaulicher Erfassung möglichst gerecht zu wer- 
den. Sie lehnt sich an die analogen Verhältnisse 
der Modulfigur an und ruht darauf, daß jede 
lineare Substitution mit ganzzahligen Koeffizien- 
ten einer endlichen Zahl einfachster Substitutio- 
1) Hierauf wies schon der erste Artikel hin; Bd. 4, 
S. 623. Eine ausführliche Darstellung gab später 
F. Schur, Math. Ann. Bd. 39, S. 113. 
2) Die oben erwähnte Schrift von Bonola hat auch 
die vielen elementaren Beweise der  Winkelsumme 
daraufhin geprüft, inwiefern sie die Stetigkeit und das 
Axiom des Archimedes benutzen. 
3) Bd. 6, S. 140. In aller Kürze wird die Frage 
auch schon in Bd. 4, 8. 582, gestreift. 
4) Vgl. das Kleinsche Gutachten zur ersten Ver- 
teilung des Lobatschefskypreises, abgedruckt in Math. 
Ann. Bd. 50, S. 594. Dehn hat später den Einfluß 
des Axioms auf den Satz über die. Winkelsumme er- 
örtert. Math. Ann. 53, S. 405, 
