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nen äquivalent ist, für die der Beweis unmittel- 
bare geometrische Durchsichtigkeit besitzt. 
Der analytischen Behandlung der so mit 
Stetigkeit ausgestatteten projektiven Elementar- 
gebilde erster und höherer Stufe stand nun nichts 
mehr im Wege. Die erste Aufgabe war, die oben 
genannte Skala wirklich zu konstruieren; da sie 
grundlegend ist, setze ich die einfache Art, in der 
Klein zu ihr und zum Wert des Abstandes ge- 
langte, hierher. Wählt man auf dem Gebilde 
erster Stufe (also der Geraden oder dem Strahl- 
büschel) die Fundamentalelemente der linearen 
Substitution als Elemente 21=0 und m» =0 
homogener Koordinaten und setzt a/a2—= 2, so 
sind z2=0 und z2=& die Fundamentalelemente, 
und die lineare Substitution hat die Gleichung 
Be 2) 
Ihre wiederholte Anwendung liefert aus jedem 
Element zı die unbegrenzte Reihe konsekutiver 
Elemente 
CAB Weak le, ua, cos 
und es hat das Element, dem der Zahlenwert Anz, 
‚entspricht, von 2ı den ganzzahligen Abstand n. 
Analog ergibt sich, falls a eine rationale Zahl 
ist, als Abstand des Elementes %%z, von zı der 
Vito en re a ein 
Wert a, und gemäß dem Stetigkeitsaxiom gilt 
dies nun auch für irrationales a. Damit ist 
eine dem Kontinuum entsprechende lückenlose 
Skala hergestellt. Als Entfernung irgend zweier 
Punkte 2 und 2’ folgt noch (durch Vergleich 
ihrer Abstände von 2,) der Wert 
log 2/22 log. A = Clog 242; 
Der Quotient z’/z ist aber das Doppelverhaltnis 
der Elemente 2 und z mit dem Fundamental- 
velementen z= (0 und z= 0%, und das Cayleysche 
Resultat ist gewonnen, und sogar in verallge- 
meinerter Form. Als Maßunterschied zweier 
Elemente eines Grundgebildes erster Stufe ergibt 
sich der mit einer Konstanten multiplizierte 
Logarithmus des Doppelverhältnisses, das sie 
mit dem absoluten Gebilde bestimmen. Die Ver- 
:allgemeinerung, die in der Konstanten ce liegt, ist 
von wesentlicher Bedeutung; sie erst ermöglichte 
die große Ausdehnbarkeit der nichteuklidischen 
Denkweise. Ein reelles e liefert die Metrik- mit 
zwei unendlichfernen ‘Elementen, wie sie für die 
%rerade - der Lobatschefskyschen Geometrie gilt; 
ein imaginares c die ohne unendlichferne Ele- 
mente, die im Strahlbüschel und Ebenenbüschel 
jeder Geometrie gilt. Die Metrik mit einem un- 
endlichfernen Element ergibt sich für unendlich 
vroßes c; es bedarf dann noch eines geeigneten 
‘Grenziiberganges, um die Formel in die euklidi- 
sche Abstandsformel überzuführen. Die drei so 
sich ergebenden Fälle hat Klein als hyperbolische, 
-elliptische und parabolische Geometrie bezeichnet. 
Die große Bedeutung dieses Tatbestandes 
besteht darin, daß mit ihm auch die Grund- 
lagen für die nichteuklidische Geometrie der Ge- 
biete höherer Stufe bereits geschaffen waren; es 
bedurfte nur der Ausführung im einzelnen. In 
der Ebene hat man einen Kegelschnitt Cs, im 
Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
. mochte, die ihnen zukam. 
[ Die Natur- 
wissenschaften 
Bündel einen Kegel Ko, im Raum eine Fläche F2 
als absolutes Gebilde zugrunde zu legen. Für 
jede Gerade g liefern dann ihre Schnittpunkte 
mit dem (», oder der Fa, das absolute Gebilde der 
auf ihr herrschenden Maßbestimmung; ebenso 
stellt der Schnitt einer Ebene e mit der Fs den 
absoluten Cs für diese Ebene, der von einem 
Punkt P an die Fs gelegte Tangentialkegel den 
absoluten Ke für das um P herumgelegte Bündel 
dar usw. usw. Einer Bestimmung bedurfte noch 
das Gebiet der eigentlichen Punkte. 
durch festgelegt, daß die Maßbestimmung im 
Büschel und Bündel in allen drei Geometrien 
elliptischer Natur ist; ein Punkt ist also als 
eigentlicher nur dann zulässig, wenn das Paar 
der von ihm an den C2 gelegten Tangenten oder 
der an die Fa gelegte Tangentialkegel imaginär 
ist. Endlich ist noch einigen natürlichen Forde- 
rungen Rechnung zu tragen. An sich führt jede 
Wahl der Konstanten ¢ sowie jede Wahl der 
quadratischen Form ®, die gleich Null gesetzt, 
das absolute Gebilde darstellt, zu einer formal 
möglichen Geometrie. Man wird sie aber nur 
dann als praktisch zulässig ansehen, wenn sie bei 
geeigneter Wahl der Konstanten c gewisse Reali- 
tätsforderungen erfüllt; z. B. daß reellen und zu- 
gleich eigentlichen Punkten ein reeller Abstands- 
wert zukommt, daß der Maßunterschied zweier 
reellen voneinander verschiedenen Elemente nicht 
Null ist usw. Von dieser Forderung aus ergaben 
sich, genau wie bei Riemann, für jeden R, immer 
nur drei mögliche Typen von Geometrien; die 
hyperbolische, die elliptische und die parabolische. 
Die nullteiligen und die ovalen Fs, liefern 
die elliptische und die hyperbolische Geometrie, 
und die Ausartung der #2 in einen doppelt zu 
zählenden C die parabolische. Ist dieser Co ins- 
besondere der imaginäre Kugelkreis, so wird die 
parabolische Geometrie zur euklidischen. 
Die Tragweite dieses einfachen Sachverhalts 
war zunächst die, daß von ihm aus viele Einzel- 
sätze der nichteuklidischen Geometrien als Folge- 
rungen von fast unmittelbarer Evidenz erschienen. 
Vor allem aber schlang er um Resultate, bei denen 
vorher gerade ihr gegensätzlicher Charakter als 
bemerkenswert erschienen war, das einigende 
Band und ließ sie als Ausdrücke einer und der- 
selben geometrischen Gesetzmäßigkeit erkennen. 
Zu den Zeiten von Gauf hatte sich noch jeder 
einzelne Bearbeiter nichteuklidischer Probleme 
seinen eigenen Weg gebahnt; damals war es nur 
das Genie eines Gauß gewesen, das die Einzel- 
resultate in die innere Beziehung zu setzen ver- 
Selbst Beltrami hat 
noch zum Riemannschen Raum positiven Krüm- 
mungsmaßes einen etwas engen Standpunkt ein- 
genomment). Es ist auch verständlich, daß die 
im FEuklidischen befangene Anschauung, der 
die Phantasie fehlte, aus ihm projektiv heraus- 
zutreten, zu den einfachen Vorstellungsbildern 
der nichteuklidischen Metrik nicht gelangen 
1) Vol. 8. 293. 
Es ist da- 
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