

Heft 7] 
25. 4. 1919 
konnte. Alles dies hat sich mit dem Erscheinen 
von Kleins Arbeiten von Grund aus geändert; sie 
vermochten hier in gleicher Weise den Sonder- 
_ charakter der Einzelresultate abzustreifen, wie es 
die projektive Methode lange vorher im Bereich 
der gewöhnlichen Geometrie getan hatte. Einige 
- Beispiele mögen dies darlegen. Man braucht nur 
einen Strahlenbüschel mit einer Geraden oder 
ein Strahlenbündel mit einer Ebene zu schnei- 
den, und auf sie die elliptische Geometrie des 
Büschels oder Bündels sozusagen perspektiv zu 
übertragen, um auf der Geraden und der Ebene 
in unmittelbar anschaulicher Form ein Bild der 
elliptischen Metrik zu gewinnen; insbesondere 
liefert noch der Schnitt der Ebene mit dem abso- 
luten Ky» des Bündels den absoluten Cs der ebenen 
Maßbestimmung. Da die oben genannte Realitäts- 
forderung für die Konstante ce im hyperbolischen 
Fall einen reellen, im elliptischen einen rein 
imaginären Wert bedingt, so wurde die im ele- 
mentaren Lehrgebäude höchstens äußerlich ver- 
ständliche Tatsache, daß die hyperbolische 
Trigonometrie aus der sphärischen durch den 
Übergang von einem reellen zu einem imaginären 
' Kugelradius entspringt, mit einem Schlage durch- 
sichtig. Ein weiteres Beispiel bildeten alle Sätze, 
| die Kreise und Kugeln sowie ihre Ausartungen 
| betreffen. Kreise stellen sich in allen drei Geo- 
metrien als solche Kurven zweiter Ordnung dar, 
die mit dem absoluten C. zwei Tangenten gemein 
haben, Kugeln als solche Flächen zweiter Ord- 
nung, die die absolute Fs längs eines ebenen 
Schnitts berühren. Ebenso durchsichtig wurde 
die Eigenart der Grenzlinien und Grenzflächen 
_ der kyperbolischen Geometrie sowie auch die Tat- 
sache, daß die Maßbestimmung auf ihnen para- 
bolischen Charakter haben muß. Ist sie doch für 
jeden Kreis und jede Kugel derjenigen perspektiv 
zugeordnet, die in dem Mittelpunkt herrscht, und 
diese geht, wenn der Mittelpunkt ins Unendliche 
rückt, in die parabolische über. 
Eine grundlegende Bedeutung kam noch der 
Frage nach den nichteuklidischen Bewegungen 
zu. Und das um so mehr, als Helmholtz gezeigt 
hatte, daß man sich auch von den Bewegungen 
und ihren Eigenschaften aus einen gangbaren 
Weg zu den nichteuklidischen Theorien bahnen 
kann. Kleins projektiver Ausgangspunkt lieferte 
| auch in diesem Punkt eine übersichtliche und 
einheitliche Antwort. Daß als Bewegungen nur 
| gewisse projektive Transformationen der Ebene 
| oder des Raumes in Betracht kommen konnten, 
war evident. Im übrigen mußte das euklidische 
Verhalten wieder als Modell benutzt werden, und 
die Ideen des Erlanger Programms mußten die 
Richtlinien der Untersuchung abgeben. Die Auf- 
gabe, die sich diesem Programm gemäß einstellte, 
‘war die, die Gruppen projektiver Transformatio- 
| nen zu finden, die in jedem einzelnen Fall die 
eruppentheoretische Grundlage der Metrik dar- 
stellen. Der Tatbestand für die euklidische Me- 
trik, von dem auszugehen war, ist andererseits 
Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
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der folgende: Die metrischen Eigenschaften sind 
kovariante Beziehungen zu den absoluten Gebil- 
den; als Operationen, für die die Kovarianz statt- 
findet, kommen die Bewegungen und Umlegungen 
in Betracht; solcher gibt es für die Ebene 00%, 
für den Raum 00%, und jede dieser Bewegungen 
und Umlegungen führt das zugehörige absolute 
Gebilde, also Kreispunkte und Kugelkreis in sich 
über. Die projektiven Transformationen, die in 
den nichteuklidischen Fällen an die Stelle dieser 
Bewegungen und Umlegungen treten, müssen das 
absolute Gebilde gleichfalls in sich überführen. 
Solcher gibt es für einen (, ebenfalls 00°, und 
für eine Fa ebenfalls 00%, und damit waren sie 
bereits als die entsprechenden nichteuklidischen 
Gruppen für Ebene und Raum erkannt. In bezug 
auf sie stellt also jede nichteuklidische metrische 
Yigenschaft eine kovariante Beziehung zum ab- 
soluten Gebilde dar. 
Es galt jetzt nur noch, von den Operationen, 
die die absoluten Gebilde in sich überführen, zu 
den zugehörigen Bewegungen und Umlegungen 
für die ganze Ebene, den Bündel und den Raum, 
zu gelangen. Für Ebene und Bündel war die 
Lösung unmittelbar gegeben. Jede projektive 
Transformation, die den absoluten Cz einer Ebene 
in sich überführt, läßt zwei seiner Punkte, P’ 
und P” fest; damit auch ihre Tangenten und 
deren Schnittpunkt O. Ist der C2 reell, so liegt, 
wie im Euklidischen, eine Bewegung oder Um- 
legung vor, je nachdem jeder der beiden Punkte 
P’ und P” für sich fest bleibt, oder beide sich 
gegenseitig vertauschent). Die ebene Bewegung 
erscheint also unter dem Bilde einer Drehung um 
den Punkt O; in Verallgemeinerung des euklidi- 
schen Hauptsatzes der Kinematik. Jeder Punkt 
bewegt sich auf dem Kreise, der den absoluten 
Quinn. P. und. 2” berührt. 
Von besonderer Eleganz ist die Lösung des 
Problems in dem Fall, daß eine nullteilige 2 das 
absolute Gebilde darstellt, die Metrik also von 
elliptischem Charakter ist. Es ist die Geometrie, 
die Cliffords phantasievoller Fläche vom Krüm- 
mungsmaß Null das Leben gab; und diese Fläche 
ist es auch, für die Klein seine Ideen gestaltete. 
Er knüpft dazu an die auf jeder Fs vorhandenen 
Geradenscharen an. Freilich sind sie auf einer 
nullteiligen Fläche imaginär; aber sie sind es. in 
einer Weise, die gerade mit ihnen als Hilfsmittel 
zu den reellen Bewegungen der F» und des Rau- 
mes führt. Sie dürfen deshalb eine nähere Aus- 
führung beanspruchen. Sieht man zunächst -von 
den Realitätsverhältnissen ab, so ist klar, daß 
diese Geraden bei jeder der 00% Kollineationen, 
die die Fa fest lassen, ebenfalls in sich übergehen, 
und zwar entweder jede Schar für sich, oder 
wechselweise beide ineinander. Sind A und u die 
Parameter beider Geradenscharen, so entsprechen 
1) Im elliptischen Fall kann man Umlegungen und 
Bewegungen nicht unterscheiden. Hierauf wies Study 
hin; Math. Ann. 39, S, 501. 
