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die Bewegungen insbesondere denjenigen Substi- 
tutionen, die in den Gleichungen 
„er+4B ° ant, 
ET Oo Sve, 
ihren Ausdruck finden; ihr einfachster Typus ist 
offenbar derjenige, der nur A oder nur mw trans- 
formiert. Wird nur A transformiert, so geht jede 
u-Gerade in sich über; die A-Geraden vertauschen 
sich untereinander, aber so, daß zwei von ihnen, 
lı und Is, fest bleiben, und zwar Punkt für Punkt. 
Die u-Geraden erscheinen also als Strahlen einer 
gewissen Kongruenz, die die Geraden I, und ls 
als Leitlinien besitzt, und es bewegt sich jede 
u-Gerade in sich. Damit ist auch bereits die all- 
gemeine Bewegung des Raumes ersichtlich, die 
dieser Bewegung der fs» in sich entspricht; sie 
kann nur eine solche sein, bei der jeder Strahl 
der eben genannten Kongruenz in sich gleitet. 
Die zugehörige projektive Transformation ist also 
eine windschiefe Perspektive. Klein bezeichnet 
sie als Schiebung. Alle Punkte rücken auf ihren 
u-Strahlen um das nämliche Stück fort, und 
ebenso dreht sich zugleich jede Ebene um den 
‘in ihr liegenden u-Strahl um diesen Winkel 9; 
‘der Sinn dieser Drehung ist bei den A-Strahlen 
und u-Strahlen ein entgegengesetzter. Dies führt 
noch zu der eigenartigen Folgerung, daß man die 
Schiebungen als nichteuklidische Schraubungen 
auffassen kann, für die jeder der 00% Kongruenz- 
strahlen eine Schraubenaxe darstellt. 
Der Reiz dieser einfachen Lösung besteht nun 
insbesondere darin, daß die so eingeführten 
Schiebungen bei den nullteiligen Flächen reell 
ausfallen. Bei ihnen besteht nämlich jede Ge- 
radenschar in Kleinscher Ausdrucksweise aus 
hochimaginären Geraden, da sie ja einen reellen 
Punkt nicht enthalten können; doch so, daß in 
der einzelnen Schar zu jeder Geraden auch ihre 
konjugiert imaginäre auftritt. Dies bewirkt, daß 
die Geraden i, und Jl. ebenfalls konjugiert 
imaginär sind. Damit ist aber die zugehörige 
Kongruenz, also auch die ihr entsprechende Schie- 
bung als eine reelle erkannt; und es folgt weiter 
noch, daß von den beiden A- und p-Schiebungen 
die eine rechtsgewunden, die andere linksgewun- 
den ist. 
Es ist heute nicht ganz leicht, den außer- 
ordentlichen Eindruck abzuschätzen, den Kleins 
Aufsätze aus den Annalenbänden 4 und 6 aus- 
gelöst haben mögen. Die Zahl der an sie unmittel- 
bar anknüpfenden Arbeiten ist freilich keine 
große; hatte er doch die Einzelfolgerungen für 
Ebene und Raum in der Hauptsache schon selbst 
gezogen. Von jüngeren Gelehrten, die sich sofort 
von seinen Ideen fesseln ließen, und seine Resul- 
tate weiterführten, nenne ich besonders Linde- 
mann!) und d’Ovidio?). Beide dehnten alsbald 
die nichteuklidischen Maßbegriffe auf den Linien- 

1) Math. Ann. Bd. 7 (1873) S. 56. 
?) Ann. di Mat. (2) Bd. 6 (1873), S. 72, und Math. 
Ann. 12 (1877) S. 403. Hier werden die Maßfunktionen 
des nichteuklidischen AR, eingehender erörtert. 
Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
selbst in seinen autographierten Vorlesungen. 










































wissenschaften 
raum aus auf der Grundlage, die schon im Er- 
langer Programm enthalten war. Lindemann 
stellte außerdem die Kinematik und die Kräfte- 
lehre auf nichteuklidischer Grundlage dar und 
zeigte, wie die von Chasles, Poinsot und Möbius 
gefundenen Sätze über unendlichkleine Bewegun- — 
gen sich sinngemäß nichteuklidisch übertragen. 
Seine Resultate fesseln insbesondere dadurch, © 
daß im Nichteuklidischen auch für die Metrik 
eine volle Dualität für Abstand. und Winkel be- 
steht. Translation und Rotation sind hier völlig © 
gleichwertig; eine Translation ist zugleich eine © 
Rotation um ihre Polare bezüglich der absoluten — 
Ps und umgekehrt. Die analoge Dualität gilt in ~ 
der nichteuklidischen Statik für Einzelkraft und — 
Kräftepaart). In den letzten Jahrzehnten hat die © 
projektive Auffassung des Nichteuklidischen auch 
auf die Lösung von Einzelproblemen vielfach för- 
dernd eingewirkt. Die Hauptwirkung der Klein- 
schen Arbeiten besteht aber darin, daß sie all- 
mählich das ganze nichteuklidische Denken mit 
projektivem Geist erfüllten; ebenso haben umge- 
| 
[ Die ae 
| 
4 
kehrt die nichteuklidischen Gedankenkreise be- | 
fruchtend auf die projektiven Probleme einge- 
wirkt. Seit geraumer Zeit ist nichteuklidisches — 
und projektives Denken zu einer untrennbaren © 
Einheit verschmolzen. Probleme .von großer 
Tragweite und Fruchtbarkeit sind in den letzten — 
Jahrzehnten in diesem Sinne erdacht und gelöst 
worden; es mag genügen, an die sehr allgemeinen 
und weittragenden Resultate zu erinnern, die | 
Study über den Linienraum und seine nicht- 
euklidischen Eigenschaften gewonnen hat. Sie 
sind durchaus aus der von Klein gestreuten Saat 
erwachsen. | 
Einige Einzelfragen, die Klein selbst in den | 
Kreis seiner Betrachtung gezogen hat, mögen 
hier noch zu kürzerer Erörterung gelangen: - 
1. Ein großer Erfolg des Kleinschen Ansatzes 
war die'volle Einordnung der Riemannschen Ge- 
dankengänge in den Rahmen des projektiven 
Schließens.-. Den Riemannschen Ausgangspunkt 
bildet der Zahlenraum und die definite quadrati- | 
sche Differentialform, die das Linienelement be- 
stimmt. Da bei Klein gleichfalls eine quadrati- 
sche Form ® als fundamentales Gebilde zugrunde 
liegt, :so springt die analytische Gleichartigkeit 
des Ausgangspunktes sofort in die Augen. Die 
Aufgabe war also nur, den Weg zu finden, der 
die innere Übereinstimmung der Problemstellung 
ins Licht setzen konnte. Klein erschuf dazu 
den Begriff. der Berührung zweier - Maßbe- 
stimmungen. Liegt nämlich irgendeine - all- 
gemeine Maßbestimmung vor, so kann man eine 
parabolische so wählen, daß sie in der Umgebung 
eines Punktes P mit der um ihn herum herr- 
schenden infinitesimal übereinstimmt, und diese 
Umgebung ist um so größer, je größer der. Wer 
der Konstanten c ist. Dies Verhältnis beider 

f 
1) Einige Anwendungen auf die Dynamik gab Klein 
