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%.-4. 1919 | 
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I N aßbestimmungen nennt Klein eine Berührung 
| und die Stärke der Abweichung der allgemeinen 
von der speziellen ihre Krümmung. Bedeutung 
und Berechtigung dieser Begriffe — und das ist 
| naturgemäß das Entscheidende — beruhen aber 
| darauf, daß als Maß der Krümmung genau der 
4 Ausdruck des Gaußischen Krümmungsmaßes ein- 
geführt werden konnte. Ein jeder R, kann also, 
ge nachdem man in ihm eine hyperbolische, 
elliptische oder parabolische Maßgeometrie zu- 
runde legt, als Mannigfaltigkeit von konstantem 
' negativem, positivem oder verschwindendem 
‚ Krümmungsmaß angesehen werden. Damit war 
# zunächst einmal der Anschluß an die Riemann- 
‘sche Auffassung auf projektiver Grundlage er- 
reicht. Dieses Ergebnis enthielt bereits Kleins 
E erster Artikel. Den zweiten Schritt, die vol'e 
| Verschmelzung des MRiemannschen Ausgangs- 
# punktes mit dem projektiven, brachte das Erlanger 
; rogramm. Er stiitzt sich auf die gruppen- 
'} theoretische Deutung, deren Beltramis Arbeiten 
über die geodätischen Linien der M, konstanter 
Krümmung fähig waren. Beltrami hatte zweierlei 
gezeigt. Erstens sind diese geodätischen Linien 
| bei geeigneter Wahl der Koordinaten durch 
lineare Gleichungen darstellbar, und’ zweitens 
E finden Bewegungen dieser M, in sich in linearen 
| Transformationen dieser Koordinaten ihren ana- 
| Tytischen Ausdruck. Damit war die Gruppe, die 
die metrische Geometrie der Mannigfaltigkeiten 
| konstanter Krümmung stützt, als eine Unter- 
| gruppe der Gesamtgruppe aller linearen Trans- 
| formationen erkannt, und damit einer Unter- 
gruppe der projektiven Gesamtgruppe ähnlich. 
Da ferner die Cayleysche Maßbestimmung, wie 
oben erwähnt, als Maßbestimmung in einem Raum 
konstanter Krümmung gedeutet werden kann, so 
ioe diese Untergruppe auch die nämliche sein, 
die Cayleys projektiver Auffassung der Metrik 
j © liegt. 
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2. Bellramis Sätze über die geodätischen 
® Linien auf den Flächen konstanter Krümmung & 
| ließen diese Linien als gleichwertige mit den Ge- 
‚ raden der Ebene erscheinen. Dies hatte aber in 
einem wichtigen Punkt versagt. Auf der Kugel 
| schneiden sich größte Kreise in zwei Punkten; 
ferner laufen durch zwei diametrale Punkte 
| unendlich viele von ihnen; Beltrami schien es 
| daher nötig, für die elliptische Geometrie Aus- 
| nahmen von den Axiomen des Schneidens und 
en bindene zuzulassen. Dies hat die richtige 
| Auffassung längere Zeit behindert. Das Fehlen 
| der geodätischen Parallelen auf den Flächen 
i iS >0 veranlaßte Beltrami sogar, diese Flächen 
| als Objekte geringeren Interesses anzusehen. Da 
es in jeder Mannigfaltigkeit M, vom Krüm- 
| mungsmaß & <0 geodätische Kugeln (Mua-ı) 
gen positivem & gab, so meinte er, die Geometrie 
der Mannigfaltigkeiten % >0 sei in der Geo- 
metrie derer fiir &% <0 enthalten und bedürfe 
‘deshalb keiner eigenen Untersuchung. Das war 
nach Riemann, aber vor Klein. Aber der Uber- 
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Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
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gang vom Beltramischen Bilde zur Sache selbst 
deckte sofort die Quelle des Irrtums auf. Der 
Bündel, als Ort seiner Ebenen und Strahlen, und 
zwar der ungerichteten Vollstrahlen, stellt das 
eigentliche elliptische Grundgebilde zweiter Stufe 
dar; in ihm ist die Geltung der Axiome des 
Schneidens und Verbindens ausnahmslos reali- 
siert. Der Fehler des Beltramischen Bildes ent- 
stand dadurch, daß die Beziehung zwischen den 
durch das Kugelzentrum laufenden Bündel- 
strahlen und den Kugelpunkten eine einzweideu- 
tige ist; um ein eineindeutiges Bild zu erhalten, 
darf man also nur die Halbkugel verwenden. 
Klein hat den Sachverhalt auch noch auf andere 
Weise zu veranschaulichen gewußt; er wies dar- 
auf hin, daß hier dieselben Unterschiede ob- 
walten, wie bei den einseitigen und zweiseitigen 
F.ächen. Die Kugel ist eine zweiseitige Fläche, die 
projektive Ebene dagegen, die in dieser Hinsicht 
dem Bündel — als sein eineindeutiges projek- 
tives Abbild — gleichwertig ist, eine einseitige; 
und das gleiche gilt von der hyperbolischen Ebene. 
Man kann aber beide in eine kugelartige zwei- 
seitige Fläche übergehen lassen, indem man sie 
aus einem doppelten Blatt bestehen Jäßt, und 
dann beide Blätter durch Aufbauschen vonein- 
ander trennt, während sie längs des zugehörigen 
C's verbunden bleiben. 
3. Der Riemannsche Ausspruch, daß die Un- 
begrenztheit des Raumes seine Unendlichkeit nicht 
nach sich zieht, hatte alsbald seine große Wirkung 
auf das mathematische Denken ausgeübt; seine 
natürliche Würdigung fand aber auch er erst, 
als die projektive Auffassung der Dinge das Ver- 
ständnis für ihn erschloß, und den Büschel 
und den Bündel als einfachste elliptische 
Raumformen _ hinstellte. Nachdem es er- 
schlossen war, wurde die elliptische Geo- 
metrie gerade diejenige, die erhöhten Reiz 
auszuüben vermochte; durch die volle Harmonie 
ihres geometrischen Verhaltens, die die Dualität 
nicht nur für die Sätze des Schneidens und Ver- 
bindens, sondern auch für die Metrik im Gefolge 
hat. Dieser Reiz war es sicher auch, der Clifford 
zu seiner berühmten Fläche führte, die er Klein 
1873 vorführte, und für die er Klein mit der 
gleichen Wärme zu erfüllen wußte, die ihn selbst 
beseelte. Die Hauptleistung von Clifford war die, 
daß er dem Begriff paralleler Geraden auch in 
der elliptischen Geometrie eine Existenz schuf 
und damit die Lücke ausfüllte, die Beltrami als 
einen ihrer Mängel empfunden hatte. Er, behielt 
vom euklidischen Parallelismus die Eigenschaft 
bei, die metrischer Natur war; nämlich die, daß 
jeder Punkt der einen Parallelen von der anderen 
gleichen Abstand besitzt. Diese Parallelen ge- 
nügten auch dem Satz, daß eine Gerade, die zwei 
von ihnen trifft, gleiche Winkel mit ihnen bildet. 
Mit ihnen hat er seine phantasievoll erdachte 
Fläche erschaffen. Sie ist vom Krümmungsmaß 
Null; auf ihr gilt die ebene Geometrie für ein 
begrenztes Parallelogramm in der Weise, daß 
