‘ man seine Gegenseiten als 
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identisch anzusehen 
hat. 
Cliffords früher Tod hat eine eingehende Dar- 
stellung seiner Resultate verhindert. Das aus- 
_ fithrliche Werk von Killing über die nichteuklidi- 
schen Raumformen, das 1885 erschien, hatte die 
Flache nicht erwahnt, und dies veranlaBte Klein, 
alsbald eine. eigene Erörterung der Fläche zu 
geben. Er gelangt zu ihr mittels der Schiebungen, 
' die Flächen als Ganzes in sich über. 
die oben als die einfachsten Bewegungen des 
elliptischen Raumes auftraten. Die ihnen ent- 
sprechenden Kongruenzstrahlen sind die Clifford- 
schen Parallelen. Im hyperbolischen Fall sind sie 
' imaginär, im elliptischen dagegen reell, und das 
“ bedingt ihre Verwendbarkeit gerade für den Fall, 
daß das absolute Gebilde eine nullteilige Fläche 
F, ist. Die Cliffordsche Fläche ist eine Regel- 
fläche ®,, die mit Fs ein windschiefes Vierseit 
gemein hat; jede ihrer beiden Geradenscharen be- 
steht aus Cliffordschen Parallelen der einen und 
der andern Art. Die Fläche gestattet daher beide 
Arten von Schiebungen; bei jeder Schiebung sind 
die einen Erzeugenden die Bahnkurven und die 
andern vertauschen sich unter sich. Jedes auf 
ihr gelegene Vierseit spielt daher völlig die Rolle 
eines ebenen Parallelogramms. Die Zerlegbarkeit 
in lauter unendlichkleine Parallelogramme von 
konstantem Winkel $ und gleichem Flächen- 
inhalt ergibt unmittelbar, da die Gesamtlänge der 
Geraden den Wert « hat, für ihren Gesamtinhalt 
den endlichen Wert x? cos @. 
Von der phantasievollen Eigenart der Clifford- 
schen Fläche strahlte auch sonst noch erhellendes 
Licht aus. Es erscheint verständlich, daß man 
die Flächen von konstantem § zunächst als ein: 
fache geschlossene Mannigfaltigkeiten betrachtete 
und meinte, die Beweglichkeit der auf ihnen vor- 
handenen Figuren über die Fläche hin führe auch 
Beides hat 
sich als Irrtum erwiesen. Die Cliffordsche 
Fläche geht als Ganzes nur durch die 00? mög- 
lichen Schiebungen in sich über; andere Be- 
wegungen in sich gestattet sie nicht; insbesondere 
zeigt der Umstand, daß ihre von einem Punkt 
auslaufenden geodätischen Linien teils geschlos- 
sen, teils ungeschlossen sind, daß keine Drehung 
um einen ihrer Punkte möglich ist. Dagegen 
läßt sich jedes Parallelogramm, wie überhaupt 
jede begrenzte Figur, auf 00% Arten auf ihr ver- 
schieben. Den inneren Grund bilden ihre Zu- 
sammenhangsverhaltnisse. Will man eine Zylin- 
derfläche auf die Gesamtebene abwickeln, so muß 
man sie mit unendlich vielen Blättern bedecken; 
jedem Blatt entspricht in der Ebene ein Paral- 
lelstreifen. Ganz Analoges gilt für die Clifford- 
fläche. Aus ihrer Endlichkeit folgerte schon. 
Clifford, daß sie, längs zweier von demselben 
Punkt ausgehender Erzeugenden aufgeschnitten, 
einfach berandet und einfach zusammenhängend 
wird und auf ein Rhombus abgewickelt werden 
kann. Das unendliche Netz, das aus diesem 
~ Rhombus in der Ebene entsteht, ist dann ein Bild 
Schoenflies: Klein und die nichteuklidische Geometrie. 
[ Die Natur- 
wissenschaften 
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der mit unendlich vielen - Blättern bedeckten 
Flache, und alle diese Blatter gehen wie beim 
Zylinder glatt ineinander über. Die Eigenart 
des elliptischen Raums besteht aber darin, daß 
das Zurücklaufen der Fläche in sich hier auf 
verschiedene Art möglich ist. Weiter kann man 
aber auch das Rhombus in gewohnter Weise zu 
einer Ringfläche zusammenbiegen und erhält da- 
mit eine neue Veranschaulichung der Zusammen- 
hangsverhältnisse. 
Damit war von selbst ein neues Problem er- 
standen; man hatte die nichteuklidischen singu- 
laritätenfreien Raumformen auf ihren Zusam- 
menhang zu untersuchen. Für die Flächen £>0 
hatte schon Killing .ein hierhergehöriges Resultat 
abgeleitet. Reelle Arten — denn nur auf sölche 
kommt es an — gibt es nur zwei; sie finden im 
Bündel und in der Kugel ihre einfachsten Ver- 
treter und entsprechen, wie schon erwähnt wurde, 
der einseitigen und zweiseitigen Flächengattung. 
Als mögliche zweidimensionale Raumformen 
& = 0 erkannte Klein außer den oben genannten 
zweiseitigen Flächen, nämlich der aus der Clif- 
fordschen Fläche entstehenden Ringfläche und der — 
Zylinderflache, nur noch eine einseitige; man 
kann eine Ringfläche nämlich so deformieren, 
daß sie diese Doppelfläche beiderseits überzieht. 
Raumformen § <0 existieren dagegen unendlich 
viele. Ringfiäche und Zylinderfläche entstehen 
aus dem Parallelogramm und dem Parallelstrei- 
fen der euklidischen Ebene durch Zusammen- 
biegung und damit aus solchen Flächenstücken, 
ie den Fundamentalbereich der doppelt und ein- 
ach periodischen Funktionen bilden. Andere‘ 
Möglichkeiten werden durch die geforderte Zu- 
sammenbiegung ausgeschlossen. Ganz analog ent- 
stehen die Raumformen  <0 aus entsprechen- — 
den Polygonen der hyperbolischen Ebene, also aus 
solchen Teilungen der hyperbolischen Ebene in a 
kongruente Polygone, die durch unendlich viele | 
hyperbolische Bewegungen in sich übergehen, und 
damit den Fundamentalbereich einer reell auto- 
morphen Funktion abgeben. Kleins Problemstel- 
lung hatte noch den Erfolg, Killing zur Weiter- 
führung seiner Untersuchungen anzuregent). Er 
fand, daß es in jedem R, fiir R > 0 und für ge- 
rades n immer nur die zwei Raumformen gibt, 
die für n=2 in der Kugel (dem sphärischen 
Raum) und im Bündel verkörpert sind. Für 
ungerades n gibt es dagegen noch weitere solche 
Raumformen. : : a 

4. Die Beziehung des Nichteuklidischen 
zu den automorphen Funktionen hat sich 
im vorstehenden bereits eingestellt. Klein 
hat auf diese Zusammenhänge als Quelle fér- 
dernder Erkenntnis stets mit Wärme und Nach- 
druck hingewiesen. Freilich handelt es sich hier 
in erster Linie um eine Geometrisierung ana- 
lytischer Dinge. Jegliche Geometrisierung dient 
aber nicht nur der allseitigen Durchleuchtung 
eines Problems und der Erkenntnis seines Zu- 
*) Math. Ann. 39 (1891) S. 257. 
