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Heft 17. 
Mel Carathéodory: Die Bedeutung des Erlanger Programms. 297 
sammenhangs mit den geometrischen Fragen; sie Relativitätstheorie mit nichteuklidischen Auf- 
bietet oft den Vorteil, dem Lernenden eine be- 
queme Eingangspforte zu Öffnen, und kann auch 
vertiefend, problemerzeugend und erfolgfördernd 
wirken. Und so ist es im Gebiet der automorphen 
Funktionen vielfach gewesen. Ihre nahe Bezie- 
hung zur Geometrie Lobatschefskys hatte auch 
Poincaré in seinen ersten Arbeiten schon ge- 
streift). Das Erlanger Programm zeigt aber, 
daß Klein schon im Beginn seiner Forscher- 
tätigkeit die geometrische Deutung der linearen 
: ‘Substitutionen einer komplexen Variabeln auf der 
Kugel bewußt und vollwertig erfaßt hatte; er 
erkannte in ihnen sowohl die Kugeldrehungen, 
wie auch allgemeiner — was sich bei dem projek- 
tiven Charakter dieser Dinge direkt ergab — 
die Ausdrücke der nichteuklidischen Bewegungen, 
die die Kugel in sich überführen?). Jede Teilung 
der Kugel in Bereiche, die bei einer Gruppe von 
solehen Bewegungen in sich übergehen, liefert 
daher eine automorphe Funktion. Die von Fricke 
gegebene Aufzählung der möglichen Fundamen- 
talbereiche im Falle einer endlichen Anzahl er- 
zeugender Operationen ist als ein besonderer Er- 
folge der Kleinschen Ideen anzusehen. Als Er- 
gebnis von besonderem Interesse sei noch er- 
wähnt, wie die einzelnen Gattungen automorpher 
“ Funktionen den verschiedenen Maßbestimmungen 
entsprechen, die man zugrunde legt. Dazu muß 
daran erinnert werden, daß eine Maßbestimmung 
auf einer Fy nur so möglich ist, daß man sie 
als Teil einer räumlichen Maßbestimmung ein- 
führt, und zwar in der Weise, daß eine Ebene 
des Raumes und ihr Pol P bezüglich der Fs fest- 
bleibt; die im Bündel um P vorhandene Maß- 
bestimmung überträgt sich dann perspektiv auf 
die Fläche. Je nachdem man nun den Punkt P 
außerhalb, auf oder innerhalb der Kugel wählt, 
wird die auf ihr entstehende Maßbestimmung 
hyperbolisch, parabolisch oder elliptisch. Der 
elliptische Fall führt auf die Gruppen der rege!- 
mäßigen Körper. Der parabolische Fall führt zu 
den doppelt- und einfach-periodischen Funktionen, 
und der hyperbolische auf die eigentlich auto- 
morphen. Die einfachste Wahl der Ebene ist in 
diesem Fall die, daß man sie eine Durch- 
messerebene sein läßt; das aus ihrem Pol Poo 
strahlende orthogonale Parallelstrahlenbündel 
erzeugt dann auf der Kugel die Orthogonalkreise 
des Aquators, und deren Projektionen auf die 
Aquatorebene liefern die Teilungen der reell 
automorphen Funktionen. Um zu den allgemein- 
sten automorphen Funktionen zu gelangen, hat 
man zu der hyperbolischen Maßbestimmung des 
Gesamtraumes überzugehen, die durch die Tei- 
lungen der Kugeloberfläche bedingt ist. 
5. Endlich sei erwähnt, daß Klein auch die 
en SE. 2 
=3)Acta math. Bd. 1, S. 8. (1882) und Bd. 3° (1883) 
‘S. 56. 
2) Aus dem Gaußischen Nachlaß weiß man jetzt, daß 
die Formel für die Drehungen ihm wohlbekannt war; 
‚Werke, Bd. 8, S. 355. 
Nw. 1919. 
fassungen in Beziehung gesetzt hat!). Geht man 
von den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z und t 
aus und schreibt in homogener Form 
= 2/0, Yarlız, 2= 0/0, t= ala, 
so daß &5=0 das „Unendlichferne“ der Raum- 
welt darstellt, so hängen neue und alte Mechanik 
mit den zwei ausgearteten quadratischen Formen 
ir tu? tu2=0 und v?+uP + ug? + U,?/c = 0 
zusammen, die in Punktkoordinaten durch die 
Gleichungen 
Leger fetes ee Oe 9,0 mt, 
Lay? tn’ + og te? = 0, 2°, = 0 
dargestellt sind, Ihre Invariantentheorie und die 
Bestimmung der Gruppe der linearen Transfor- 
mationen, die die Gleichungen I und II und zu- 
gleich die Maßunterschiede unverändert lassen, ist 
dann kurzgesprochen die gruppentheoretische 
Grundlage der alten und der neuen Mechanik. 
Die Bestimmung dieser Gruppen liefert in der 
Tat das physikalisch geforderte Ergebnis und da- 
mit die Einordnung der klassischen und der 
modernen Mechanik in das Schema der :projek- 
tiven Maßbestimmung für die vierdimensionale 
Raumwelt. 
_ Bald 50 Jahre sind vergangen, seitdem die 
Welt die Einwirkung von Kleins nichteuklidischen 
Ideen an sich erfahren hat. Eine neue Gene- 
ration in Wissenschaft und Schule ist seitdem 
herangewachsen. Die Wissenschaft hat sich all- 
mählich ganz mit dem Gehalt dieser. Ideen 
erfüllt; aber auch Lehrerschaft und Schule 
haben inzwischen seines Geistes einen Hauch 
verspürt. Angriffe, wie sie vor einigen Jahr- 
zehnten von seiten einzelner Kreise gegen die 
mathematische ‚„Afterweisheit“ gerichtet wurden, 
sind heute verstummt. Daß sehen kann, wer 
sehen mag, bedarf keiner Bekräftigung; wichtiger 
ist und erfreulicher für die Wissenschaft, wie 
für Klein selbst, daß die große Mehrzahl derer, 
die dazu berufen sind, auch sehen wollen. Dem 
ruhigen Beschauer, der an den Sieg der Vernunft 
glaubt, die in den Dingen steckt, kann der fort- 
schreitende Entwicklungsgang nicht zweifelhaft 
sein. Möge dieses Bewußtsein dem Lebensabend 
dessen, der sein ganzes Leben hindurch auch für 
Reform und Hebung des Unterrichts fördernd und 
klärend eingetreten ist, einer seiner freundlichen 
Begleiter sein. 
Die Bedeutung des Erlanger 
Programms. 
Von Prof. Dr. C. Carathéodory, Berlin. 
1. Das 19. Jahrhundert kann in gewisser Hin- 
sicht als das Jahrhundert der Geometrie bezeich- 
net werden, weil sich damals die reine Geometrie, 

1) Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver. 19 11910), 
S. 281. Vgl. auch noch eine neuere Bemerkung in 
Bd. 27, Abteilung 2, S. 43, die an den Gedanken an- 
schließt, die Raumwelt als Mannigfaltigkeit § > 0 
zugrunde zu legen. 
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