298. 
die mehrere Generationen vernachlässigt worden 
war, plötzlich zur höchsten Blüte entfaltete. Die 
Bewegung geht von Monge aus und hängt mit der 
französischen Revolution zusammen, die nicht nur 
diesen Geometer von dem Zwange befreite, die 
darstellend- geometrischen Methoden, die er schon 
längst ersonnen hatte, als militärisches Geheimnis 
zu. hüten, sondern auch die Ecole Polytechnique 
gründete, aus der — trotz ihres, praktischen 
Zweckes — soviele Mathematiker ersten Ranges 
hervorgegangen sind. 
Die Früchte des vielseitigen Unterrichts von 
Monge ließen nicht auf sich warten; wir verdan- 
ken einerseits seinem Einflusse die allmähliche 
Entwicklung des Dualitätsprinzips und die pro- 
jektive Geometrie, die Poncelet in den Jahren 
der Kriegsgefangenschaft an der Wolga nach dem 
unglücklichen russischen Feldzuge Napoleons ge- 
schaffen hat, während andererseits das Buch von 
Monge selbst „Feuilles d’analyse appliquée a la 
gsometrie“ (1795) die Grundlage zur späteren 
Flächentheorie bildete. 
Die Pflege der Geometrie verbreitete sich mit 
großer Schnelligkeit über ganz Europa, vor allem 
in Deutschland, wo Möbius (1827), Plücker (ea. 
1834), Steiner (ca. 1833), v. Staudt (1847), Kum- 
mer, um nur diese zu nennen, in kurzer Aufein- 
dndertolge die projektiven Koordinaten, die syn- 
thetische Geometrie, die Liniengeometrie, die 
Kreis- und Kugelgeometrie, die Theorie der alge- 
braischen Flächen und noch anderes mehr ent- 
weder begründet oder in hohem Maße gefördert 
haben. 
Eine zweite, von der ersten unabhängige Welle 
geht von Gauß aus, der in seiner Arbeit „Dis- 
quisitiones generales circa superficies curvas“ 
(1827) die eigentliche Flachentheorie begründet 
hat. Diese Arbeit bildet außerdem die Grundlage 
zu den Untersuchungen von Riemann (1854, 1861) 
über die Krümmung der Räume, die heute in der 
Einsteinschen Gravitationstheorie eine so große 
Rolle spielen. 
‘Im Jahre 1829 wurde ferner von Lobatschews- 
ky und kurz darauf (1832) von J: Bolyai die 
nicht-Euklidische Geometrie entdeckt und, indem 
die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms von den 
übrigen geometrischen Axiomen. allen  Mathe- 
matikern klar wurde, ein Problem gelöst, das seit 
dem’ Altertum berühmt wart). Gauß und beson- 
ders. Riemann, der in den schon erwähnten Ar- 
beiten eine zweite Art nicht-Euklidischer Geo- 
metrie entdeckte, sind in diesem Zusammenhange 
auch zu nennen. 
Als vierten Hauptpunkt muß man die Qua- 
ternionentheorie Hamiltons (1848) nennen, die 
eine ‘ Invariantentheorie der Bewegungen des 
Euklidischen‘ Raumes ‘enthält, und die Aus- 

4) Ein lückenloser ‚Beweis dieser Unabhängigkeit 
‚ist. erst viel später. erfolgt, wohl. zuerst durch die 
Untersuchungen von Beltrami über Flächen konstanter 
Krümmung (1869) und vor allem durch die weiter unten 
erwähnten Arbeiten von Klein, 
Carathéodory: Die, Bedeutung des Erlanger Programms. ‘ 
[ Die Natur- 
wissenschaften 
dehnungslehre GraBmanns (1844, 1865), in der. 
zum ersten Male die Geometrie der mehr dimensio- 
nalen Räume begründet wird. ' 
In den Jahren 1850—1870 en sich 
außerdem die algebraischen Methoden der In- 
variantentheorie, die man als den eigentlichen 
Schlüssel der modernen analytischen Geometrie 
ansehen muß, unter den Händen von Cayley, Syl- 
vester, Aronhold, Clebsch und vielen anderen und 
bildeten allmählich eine umfangreiche Disziplin. 
Endlich kann man die Analysis Situs nicht. 
unerwähnt lassen, d. h. denjenigen Teil der Geo- 
metrie, der den Zusammenhang der geometrischen 
Figuren unabhängig von ihrer Gestalt erforscht, 
und der im Keime schon bei Euler zu finden ist, 
aber erst durch die Arbeiten von listing (1847), 
Möbius (1863) und vor allem durch die funktio- 
nentheoretischen Gedanken fiemanns. (1861, 
1857). eine :Wissenschaft für sich geworden ist. 
2. Am Anfang der siebziger. Jahre hatte sich. 
also die Geometrie nach so vielen, scheinbar ein- 
ander ganz fremden Richtungen entwickelt, daß 
es schien, sie könnte in mehrere getrennte Zweige 
zerfallen, um so. mehr, als- die Spezialisten sich 
vielfach bemühten, überall zwischen den’ ver- 
schiedenen Gebieten trennende Mauern-zu en 
ten. ; 
Um so berechtigteres Aufsehen Me ete; der 
Aufsatz von F. Klein „Vergleichende Betrach- 
tungen über: neuere geometrische Forschungen“, 
der zuerst als Programm zum Eintritt in di 
philosophische Fakultät zu Erlangen im Jahre 
1872 erschient), und in dem auf dem einfachsten 
Wege, fast spielend, ein gemeinsames Band um 
sämtliche Arten von Geometrien geschlungen 
wurde und noch dazu zum ersten Male die Frage 
„Was ist eine Geometrie?“ zugleich gestellt und 
beantwortet wird. 
Diesen großen Erfolg verdankte Klein dor 
glücklichen Gedanken, die Idee der Gruppe an die 
Spitze seiner Überlegungen zu stellen. Der ab- 
strakte Begriff einer Gruppe ist verhältnis- 
mäßig neueren Datums’). Er wurde durch 
1) Wiedergedruckt in den Mathematischen Annalen 
Bd. 43 p. 63 (1893), außerdem in italienischer und 
französischer Übersetzung in den Annali di Matematica 
(2) t. 17 (1890), Annales de l’Ecole Normale (8) t. 8 
(1891). 
2) Eine Gesamtheit von essen Operationen 
bildet eine Gruppe, wenn sie alle Operationen enthält, 
die entstehen, wenn man zwei beliebige unter den ge- 
gebenen. Operationen hintereinander ausführt, und 
wenn sie zugleich mit jeder Operation auch ihre In- 
verse enthält. 
Man macht sich mit dem Begriff der Gruppe am 
besten. durch möglichst einfache Beispiele vertraut. Be- 
trachten wir z. B. Drehungen um einen Punkt der 
Ebene; die zwei Drehungen um 90° und 180° .bilden 
keine Gruppe, weil man, wenn man sie hintereinander 
ausführt, eine dritte, von den beiden‘ersten verschiedene, 
Drehung um 270° erhält. Dagegen bilden die vier 
Drehungen um 0°, 90°, 180 ° und 270 ° eine Gruppe. 
Die beiden Drehungen um 90° und 270° sind jede zu 
der anderen invers; wenn man sie nacheinander aus- 
führt, kehrt nämlich jeder Punkt in seine ursprüng- 
liche Lage zurück, sie ergeben bei Zusammensetzung 

