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25. 4. 1919 gr 
Lagrange (1770) und vor allem Galois (1832) bei 
ihren Untersuchungen über algebraische Gleichun- 
gen geprägt, und erst später, z. B. durch ©. Jor- 
dan: (1868), auch auf das geometrische Gebiet 
übertragen. Man kann andererseits aber wohl 
sagen, daß jeder Geometer, von Huklid ab, der die 
Bewegungsgruppe des Raumes am Anfang seines 
ersten Buches wiederholt benutzt, in seinem 
Unterbewußtsein mit der einen oder anderen 
Gruppe operiert hat. Dies ist z. B. bei Mobius in 
hohem Maße der Fall gewesen. 
Für Klein aber ist die Gruppe nicht bloß ein 
Instrument, um neue Sätze. zu finden, sondern 
sie bildet das wahre Wesen der Geometrie. Eine 
Geometrie entsteht erst, wenn man neben der 
räumlich ausgedehnten Mannigfaltigkeit noch eine 
Gruppe von Transformationen dieser - Mannig- 
faltigkeit in sich vorgibt; und jeder Gruppe ent- 
spricht eine besondere Geometrie. 
So wurde mit einem Sehlage der Unterschied 
klar, der zwischen den verschiedenen Geometrien, 
die sich sozusagen zufällig entwickelt hatten, be- 
steht, und zugleich ein Mittel gegeben, um alle 
möglichen Geometrien systematisch aufzustellen 
und zu untersuchen. Genau so, wie wenn die 
Sonne durch die Wolken bricht und alle Gegen- 
stände einer weiten Landschaft plötzlich: beleuch- 
tet, wurden viele Beziehungen sıchtbar, die zwi- 
schen den verschiedenen Theorien bestehen und 
bis dahin mit wenigen Ausnahmen unbemerkt 
geblieben waren. Es ist nicht möglich, -den Ge- 
danken von Klein knapper und besser darzustel- 
len und ihn mit vielseitigeren Beispielen zu be- 
leben, als er es selbst in seiner Abhandlung getan 
hat. Man muß die Schrift selbst lesen, die heute, 
nach fast fünfzig Jahren, ebenso fesselnd 
und frisch wirkt, wie am ersten Tage ihres 
Erscheinens. br 
Klein war nur dreiundzwanzig Jahre alt, als 
er die „Vergleichenden Betrachtungen“ veröffent- 
lichte; aber er hatte schon Gelegenheit gehabt, 
mit den meisten unter den besten Geometern 
seiner Zeit in Berührung zu kommen. Er war 
die Drehung um 0°, die Identität. _Ebenso sind die 
Drehungen um 0° und 180° sich selbst invers. Ähn- 
lich sicht man, daß die Gesamtheit aller möglichen 
Drehungen um einen festen Punkt der Ebene eine 
Gruppe bilden. Die zuerst betrachtete Gruppe, die nur 
aus einem Teil der Operationen der zweiten Gruppe be- 
steht, nennt man eine Untergruppe dieser. 
Die Translationen der Ebene (oder des ‘Raumes) 
bilden ebenfalls eine Gruppe, weil zwei Translationen 
hintereinander ausgeführt wiederum eine Translation 
ergeben.: Die Inverse einer beliebigen Translation ist 
wieder eine Translation,. welche dieselbe Richtung, den- 
selben Betrag und den entgegengesetzten Sinn hat. 
Ich erwähne noch einige geometrische Gruppen: die 
ie mtheis ‘der Bewegungen des Raumes, die eine 
Ebene, oder eine gerade Linie, oder eine ‘Schrauben- 
linie, oder eine Kugel, oder einen der fiinf reguliren 
Körper mit sich zur Deckung bringen. Die Gesamtheit 
der-Transformationen:der- Ebene; die gerade Linien in 
gerade Linien überführen, oder die — wie die Trans- 
formation durch reziproke Radien:— jeden Kreis und 
jede Gerade entweder in einen „Breis = ‚in eine 
gerade Linie transformiert. Er 
Carathéodory:' Die Bedeutung‘ des: Erlanger Programms. 
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in*Bonn Assistent von Plücker gewesen, hatte in 
Göttingen intim mit.Clebsch verkehrt und war in 
der ‚Zwischenzeit im Winter 1870 mit seinem 
Jugendfreunde S. Lie in Paris ‚gewesen, wo :er 
C. Jordan -kennen lernte und ganz besonders mit 
@. Darboux lebhafte Beziehungen anknüpfte, die 
der damalige Krieg nur für kurze Zeit unter: 
brach, So kam es,: daß er: trotz seiner Jugend. iu 
der. Lage war, das Erlanger. Programm zu ver? 
fassen, ein Programm im wahren Sinne des 
Wortes, das von seinem Autor einen ‚vollständigen 
Überblick über die gesamte Geometrie seiner Zeit 
erforderte. 
Im Erlanger Programm ist zum erstenmal eine 
Tendenz zutage getreten, die später für alle Ar- 
beiten. Kleins maßgebend geworden ist, und die 
darin bestand, den Zusammenhang entfernt lie- 
gender Gebiete aufzudecken und Auf diese Weise 
neue. fruchtbare Forschungsmöglichkeiten zu 
schaffen. Dadureh hat Klein mehr als irgend ein 
anderer im Gebiete der Mathematik dazu beige: 
tragen, die Gefahren. der durch eine zu große 
Spezikliälerung hervorgerufenen . Zersplitterung 
der Wissenschaft zu. überwinden. aa 
Auch war es kein reiner Zufall, daB Klein in 
seiner Schrift dem Begriff der. Gruppe- eine so 
maßgebende Rolle zuschrieb. Hatte er doch schon 
sehr früh im wechselseitigen Verkehr mit Lie 
die fundamentale Bedeutung .der Gruppentheorie 
für. die. gesamte Mathematik eingesehen, eine 
Überzeugung, die während des Pariser Aufenthal- 
tes der beiden Freunde nur bekräftigt. werden 
konnte, da auch dort z. B. C. Jordan die letzte 
Hand an sein ,,Traité des Substitutions“ legte, 
das erste Lehrbuch über die Theorie endlicher 
Gruppen. 
3. Das Erlanger en enthält aha noch 
mehr als diesen einen Hauptgedanken, durch den 
die Bedeutung: der’ Gruppe für die Geometrie 
festgelegt worden ist, Plücker hatte nämlich. ge 
lehrt, wie man nicht nur die Punkte, sondern be- 
liebige algebraische Gebilde durch endlieli viele 
„Koordinaten“ charakterisieren und daher als Ele- 
mente des Raumes auffassen’ kann. en 
Eine Gruppe von Tränsformationen ‘des 
Raumes “kann aber auch, wie Klein be? 
merkte, als Gruppe‘ von ."Transformationer 
solcher “‘algebraisehen Figuren“ unter‘ sich 
angesehen werden und erzeugt daher ‘nach 
Kleins Prinzip eine bestimmte Geometrie dieser 
Figuren. Nun kann es vorkommen, daß mehrere 
auf diese Weise gebildete Geometrien ‚dieselbe 
Gruppe besitzen und daher selbst ‚übereinstimmen. 
Hierdurch wurde auf die bereits‘ bekannten 
Übertragungsprinzipien, insbesondere auf.den vor 
kurzem durch Jie entdeckten .:Zusammenhang 
zwischen :Linien- und Kugelgeometrie - ein» neues 
Licht’ geworfen und zugleich für .die-Aufstellung 
neuer, Übertragungsprinzipien.. eine ‚einheitliche 
Grundlage: geschaffen. Von diesem. Gedanken, ‘dey. 
sich auch später in vielen Arbeiten von jüngeren 
