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Geometern als fruchtbar erwiesen hat, hat- Klein 
eine Reihe von wichtigen Anwendungen gemacht. 
Die Art z. B., wie er die nicht-Euklidische 
Geometrie, zum Teil schon vor dem Erlanger Pro- 
gramm, behandelt hat, beruht auf diesem Ab- 
bildungsprinzip. Klein hat gefunden, daß man 
das Innere einer Kugel als Lobatschewskyschen 
nicht-Euklidischen Raum deuten kann, wenn man 
die. Gruppe derjenigen projektiven Transforma- 
tionen des Raumes, die die Kugel in sich trans- 
formieren, den Betrachtungen zugrunde legt. 
Ähnlich hat er den elliptischen nicht-Euklidischen 
Raum mit Hilfe einer imaginären Kugel reali- 
siert. 
Noch bekannter ist die Figur, in der die nicht- 
Euklidische Ebene durch eine Halbebene darge- 
stellt wird, wobei das Bild der geraden Linien 
Halbkreise sind, die den Rand der Halbebene 
senkrecht schneiden und die Winkel in ihrer ge- 
wöhnlichen Bedeutung erhalten bleiben. Diese 
Figur spielt ja in der Theorie der automorphen 
Funktionen eine große Rolle, der Klein viele 
seiner wichtigsten und schönsten Arbeiten ge- 
widmet hat und die — wenigstens durch die sub- 
jektive Weiterentwicklung der Gedanken Kleins 
—- mit dem Erlanger Programm zusammenhängen 
und deshalb hier auch erwähnt sein mögen. 
4. Später hat Klein wiederholt betont, daß die 
Ideen des Erlanger Programms auch als oberstes 
Einteilungsprinzip für die Mechanik genommen 
werden müssen. Zunächst hat er gezeigt, wie man 
die Mechanik des starren Körpers von diesem 
Standpunkte aus behandeln kannt). Dann aber 
hat die Relativitätstheorie und die neue Einstein- 
sche Gravitationstheorie ihm neuen Anlaß ge- 
geben, die fundamentale Rolle, welche gerade hier 
die Gruppe, ganz im Sinne seines Erlanger Pro- 
gramms spielt, zu untersuchen?). 
In der klassischen Mechanik muß man nämlich 
die zehngliedrige Gruppe zugrunde legen, die man 
erhält, wenn man die gleichförmigen Translatio- 
nen des Raumes (3 Parameter), die orthogonalen 
Transformationen des Koordinatenkreuzes (6 Para- 
meter) und die Ersetzung der Zeit ¢ durch (¢ +h) 
miteinander kombiniert. In der Elektrizitäts- 
theorie dagegen (und überhaupt bei allen Er- 
scheinungen, bei denen die Lichtgeschwindigkeit 
als endlich angesehen wird) muß man. diese 
Gruppe, die man die Galileische genannt hat, 
durch die Gruppe der Lorentztransformationen 
ersetzen, die ebenfalls zehnparametrig ist und aus 

1) Zur Schraubentheorie 
(Ztschr. f. Mathem. u. Phys. 
abdruck mit einem Zusatz i. 
(1906, S. 419). 
2) Uber die geometrischen Grundlagen der Lorentz- 
gruppe (Jahresber. d. deutsch. Mathematikervereini- 
gung Bd. 19, 1910). 
Uber die Differentialgesetze fiir die Erhaltung von 
Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitations- 
theorie (Gött. Nachr. 1918). 
Über die Integralform der Erhaltungssätze und die 
Ha der räumlich geschlossenen Welt (Gött. Nachr. 
von Sir Robert Ball 
Bd. 47 (1902); Wieder- 
d. Math. Ann. Bd. 62 
Sommerfeld: Klein, Riemann und die mathematische Physik. 
[ Die Natur- 
wissensChatten 
der man die erste durch einen Grenzprozeß..ge- 
winnen kann. In der Einsteinschen Gravitations- 
theorie wieder sind es die reellen eineindeutigen 
Transformationen der vierdimensionalen Welt, 
die man betrachten mußt). 
Hieraus sieht man, wie sich der re 
Geltungsbereich der Kleinschen Ideen erweitert 
hat durch das Hinzukommen von Fragestellun- 
gen, die zur Zeit ihres Entstehens noch gar nicht 
existierten und für welche die Wissenschaft 
nieht einmal reif war, und. das ist gerade ein 
Prüfstein für die Tragweite des Fortschritts, der 
durch das Er!anger Programm erzielt worden ist. 
Klein, Riemann 
und die mathematische Physik. 
Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. Sommerfeld, 
München. 
Als ich Oktober 1893 nach Göttingen kam, 
war die erste Vorlesung, die ich bei Klein: hörte, 
eine solche über die Riemannsche P-Funktion. 
Wie alle Vorlesungen von Klein, war sie glänzend 
durchgearbeitet und von plastischem Vortrag. 
Klein konnte, was nur wenige Dozenten wagen 
dürfen, die Zusammenfassung des Vorgetragenen 
seinen Hörern mehirmals in jeder Stunde in die 
Feder diktieren, ohne den’ Anschein der Pedante- 
rie hervorzurufen und ohne sich zu wiederholen: 
Er konnte dies, weil seine Zusammenfassung dem 
Gedanken stets eine neue zugespitzte Form gab. 
Dem Gedanken, nicht der Rechnung. Die Rech- 
nung spielt in Kleins Vorlesungen eine. ganz 
nebensächliche Rolle. Das war einer der Punkte, 
in denen er sich mit Riemanns Denkweise be- 
rührte. Die Definition der Funktionen aus ihren 
Eigenschaften, unabhängig von ihrer formalen 
Darstellung, die -Formel nicht als Grundlage, 
sondern als Ausfluß der mathematischen Erkennt- 
nis! Wir’lernten in jener Vorlesung diesen. Geist 
der Riemannschen und Kleinschen Funktionen- 
theorie an dem Beispiel der hypergeometrischen 
Funktion kennen. Das hinreißende Temperament 
von Klein, das wohl in seiner rheinischen Heimat 
wurzelt, verstand es, diesen Geist der Mathematik 
uns vor Augen zu stellen und damit Riemanns 
Geist neu zu beleben. 
Klein hat auf der Wiener Naturforscher- Gesell 
schaft 1894, als er nach dem Tode von Helmholtz 
an dessen Stelle als Vortragender der Allgemeinen 
Sitzung sprach, das Thema gewählt: Riemann und 
seine Bedeutung für die Entwicklung der mo- 
dernen Mathematik. Hier leitet er die besondere 
Kraft der Riemannschen Methode aus ihrer. 
Durchtränkung mit der Denkweise der mathe- 
matischen Physik her. ,,Wie die einzelne Er-: 
scheinung im Gebiete der Physik von der Anord- 
nung der Versuchsbedingungen abhängt, so indi- 
1) Das letzte ist nicht ganz genau, weil im Un- 
endlichen Nebenbedingungen hinzukommen, die’ noch 
nicht vollständig erforscht sind, ‘ai; si bike 25 

