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10. 10. 1919. 
sechs Koordinatenebenen, die es ja in einer vier- 
dimensionalen Mannigfaltigkeit gibt”). Man 
nennt nun den Sechservektor, den man auf diese 
Art durch eine reine Rechenoperation aus dem 
Viererpotential ableiten kann, den elektromagneti- 
schen Feldtensor; es zeigt sich dann auf Grund 
der Maxwellschen Gleichungen, daß die sechs 
Komponenten des elektromagnetischen Feld- 
tensors nichts anderes sind als die elektrische und 
die magnetische Feldstärke. 
Andererseits zeigt nun die vierdimensionale 
Vektoranalysis, daß auch aus jedem Sechser- 
vektor ein Vierervektor durch eine reine 
_Rechenoperation gewonnen werden kann. Den 
_ Vierervektor, der sich derart rein mathematisch 
aus dem Feldtensor herleiten läßt, nennt man den 
_ Viererstrom. Diese Bezeichnung rührt daher, daß, 
wie sich auf Grund der Maxwellschen Gleichun- 
gen herausstellt, die drei räumlichen Komponen- 
ten des Viererstroms die Komponenten der 
_ Stromdichte darstellen, während die zeitliche 
* Komponente mit der Ladungsdichte gleichbedeu- 
tend ist. 
So erscheint also in der vierdimensional-rela- 
tivistischen Darstellung das elektromagnetische 
Feld durch das Viererpotential, durch den Feld- 
_ tensor und durch den Viererstrom charakterisiert. 
Bei dieser Darstellungsart lassen sich die acht 
' elektromagnetischen Feldgleichungen in zwei 
~Gleichungsquadrupel bringen und jedes dieser 
wiederum in je eine symbolische vierdimensionale 
vektorielle Gleichung zusammenfassen. Die erste 
- Vektorgleichung enthält das Gesetz von Biot und 
_Savart und das elektrostatische Grundgesetz, die 
zweite das Induktionsgesetz und das magneto- 
_ statische Grundgesetz. Diese Art der Darstellung 
hat aber für die Axiomatik noch einen anderen 
- Vorteil. Sieht man nämlich das Viererpotential, 
aus dem die anderen Zustandsgrößen durch 
 Rechenoperationen ableitbar sind, auch in physi- 
 kalischer Hinsicht als das Primäre, das ursprüng- 
lich Gegebene an, so wird die zweite der eben er- 
_ wihnten Vektorgleichungen eine mathematische 
Selbstverstandlichkeit. Statt von acht braucht 
man dann nur noch von vier elektromagnetischen 
_ Grundgleichungen zu sprechen. 
Durch Kombination von Viererpotential, Feld- 
tensor und Viererstrom lassen sich nun natürlich 
neue Größen bilden und aus diesen durch 
_ Rechenoperationen wieder andere gewinnen. Unter 
den Größen, die man derart ableiten kann, spielt 
nun eine eine besonders wichtige Rolle. Sie ist 
ein sogenannter vierdimensionaler Tensor. Im 
 Dreidimensionalen haben die Tensoren (die Vek- 
toren höheren Ranges darstellen) im allgemeinen 
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7) In der vierdimensionalen Vektoranalysis stehen 
Sechser- und Vierervektoren zueinander in demselben 
_ Verhältnis, wie in der dreidimensionalen Geometrie 
„axiale“ und ,,polare“ Vektoren. Während ber im 
- Dreidimensionalen die Zahl der Koordinatenachsen 
und der Koordinatenebenen gleich ist (drei und drei), 
sind diese Zahlen im Vierdimensionalen verschieden 
(vier und sechs). i 
Nw. 1919. 
Haas: Die Axiomatik der modernen Physik. 
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dreimal drei, also neun Komponenten, weil ihre 
Komponenten eben durch je zwei Indices cha- 
rakterisiert sind. Im Vierdimensionalen ist die 
Zahl der Komponenten eines Tensors daher im 
allgemeinen viermal vier oder sechzehn®). Der 
eben erwähnte vierdimensionale Tensor, den man 
aus den elektromagnetischen Zustandsgrößen ab- 
leiten kann, ist nun deshalb so bemerkenswert, 
weil seine Komponente, in der der für die zeit- 
liche Koordinate charakteristische Index 4 zwei- 
mal vorkommt, nichts anderes darstellt als die 
Dichte der elektromagnetischen Energie. Aus 
diesem Grunde bezeichnet man diesen Tensor als 
den Energietensor. 
Der Energietensor hat also wohl, wie erwähnt, 
sechzehn Komponenten. Es sind aber zwei Kom- 
ponenten, die dieselben Indices, aber in umgekehr- 
ter Reihenfolge enthalten, untereinander gleich. 
(Es ist also z. B. die Komponente mit dem Index 
2,3 gleich der Komponente mit dem Index 3,2.) Es 
ist der Energietensor, wie man sagt, symmetrisch. 
Deshalb sind unter seinen Komponenten je sechs 
paarweise gleich, und man braucht somit an dem 
Energietensor nur zehn verschiedene Komponen- 
ten zu unterscheiden. 
Mit dem Energietensor kann man nun natür- 
lich auch wiederum vektorielle Operationen vor- 
nehmen; und unter diesen ist nun eine besonders 
wichtig; das ist die Bildung der sogenannten 
Vektordivergenz. Ein näheres Eingehen auf den 
Charakter dieser Rechenoperation ist in diesem 
Zusammenhange nicht notwendig. Es genüge der 
Hinweis darauf, daß im Dreidimensionalen z. B. 
die an der Volumeneinheit einer kontinuierlich 
verbreiteten Masse angreifende Kraft die Vektor- 
divergenz des mechanischen Spannungstensors 
ist. Bildet man nun von dem Energietensor die 
sogenannte Vektordivergenz, so findet man für 
sie den Wert Null. Die Tatsache, daß die Vektor- 
divergenz des Energietensors verschwindet, findet 
ihren analytischen Ausdruck in einem Glei- 
chungsquadrupel, in dem lediglich die partiellen 
Differentialquotienten der Komponenten des 
Energietensors nach den vier Koordinaten vor- 
kommen. Und nun stellt sich das überraschende 
Ergebnis heraus, daß dieses Gleichungsquadrupel 
in seiner Form vollkommen übereinstimmt mit 
dem System der vier Gleichungen, die vorhin als 
die Grundgleichungen der Mechanik bezeichnet 
wurden und die eben den Impulssatz und den 
Massenerhaltungssatz ausdrücken. 
Durch diese wunderbare theoretische Ent- 
deckung eröffnete sich der Axiomatik die Mög- 
lichkeit eines ähnlichen, vielleicht noch groß- 
artigeren und noch radikaleren Fortschrittes, als 
es der war, den sie Maxwell verdankte. Maxwell 
hatte gezeigt, daß aus den elektromagnetischen 
Grundgleichungen Relationen resultieren, die in 
8) Auch die Sechservektoren stellen einen Spezial- 
fall eines Tensors dar; sie sind sogenannte schiefsymme- 
trische Tensoren. Daraus erklärt sich auch die Be- 
zeichnung Feldtensor. 
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