| ‚Die Natur- | 
wissenschaften 
702 Frank: Die statistische Betrachtungsweise in der Physik. 
mit je mehr Münzen wir das Experiment an- f 
Bruchteil der Versuche auftritt, wie 252 in 1024 2 2 t 
stellen; denn um go seltener sind ja, wie wir ‘gem 
enthalten ist. Allgemein driickt man das so aus: 
die Wahrscheinlichkeit, mit 10 Münzen 5 Kopf- 
würfe zu erzielen ist ?°2/io34, die Wahrscheinlichkeit 
10 
von k Kopfwürfen ist also (fer und die 
Wahrscheinlichkeit, mit n Münzen k-mal ‚„Kopf“ 
n 
zu werfen, ist dementsprechend (i) 2 Wenn 
wir nun bei jedem Versuch die Anzahl der Kopf- 
wiirfe als Ergebnis uns anmerken, so ist das 
arithmetische Mittel aus diesen Zahlen bei sehr 
vielen Versuchen offenbar ungefahr 5, weil ja 
gleichgroBe Abweichungen von 5 nach oben und 
unten ungefähr gleich oft vorkommen. Wir kön- 
nen nun jedes andere Versuchsergebnis als eine 
Abweichung vom Mittel auffassen, und zwar 
wollen wir die relative oder prozentuelle Abwei- 
chung betrachten. Wenn z. B. 6 Kopfwürfe statt- 
finden, so ist das eine positive Abweichung von 
1/; oder 20 %, bei gar keinem Kopfwurf sprechen 
wir von einer negativen Abweichung von 100 %. 
Wir sehen aus den Wahrscheinlichkeitszahlen, daß 
die Abweichungen um so seltener sind, je größer 
sie sind, was sich auch aus den Versuchen ergibt. 
Wenn wir aber die Versuche nicht mit zehn, son- 
dern mit viel mehr, z. B. mit 100 Münzen aus- 
führen, so sehen wir, daß jetzt jede bestimmte 
Abweichung vom Mittel (das jetzt 50 beträgt) 
viel seltener vorkommt als früher. Das ist auch 
nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung leicht vor- 
auszusehen. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem 
Wurf k-mal Kopf zu werfen, ist nach dem Ge- 
: 100 : ’ 
sagten jetzt Kr )/ as, Suchen wir z. B. die 
Wahrscheinlichkeit einer 100-proz. Abweichung 
vom Mittel, etwa nach der negativen Richtung zu 
bestimmen, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafiir, 
daB bei einem Wurf gar kein Kopf geworfen 
wird, so läßt sich das nur auf eine individuelle 
Weise erzielen, nämlich indem jede einzelne 
Münze „Schrift“ zeigt. Das ist aber jetzt eine 
unter 21° gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten, 
das bedeutet aber eine Zahl mit 30 Nullen. Man 
sieht, wie rasch mit der Zahl der Miinzen die 
Wahrscheinlichkeit einer großen prozentuellen 
Abweichung vom Mittel abnimmt. 
Wenn wir diese ganze Aufeinanderfolge von 
Versuchen als eine Naturerscheinung ansehen, 
können wir an ihr folgendes hervorheben: Kommt 
einmal eine Anzahl von Kopfwürfen zustande, die 
stark vom Mittel, also vom häufigsten Fall, ab- 
weicht, so kann man mit sehr großer Wahrschein- 
lichkeit annehmen, daß der nächste Wurf dem 
Mittel näher kommen wird, d. h., wenn man viele 
Fälle betrachtet, wo dieselbe große prozentuelle 
Abweichung (z. B. 100%) stattfindet, so wird 
sich in fast allen diesen Fällen beim nächsten 
Wurf eine geringere Abweichung vom Mittel 
zeigen. Das kann man als ein Streben zum Aus- 
gleich ansehen; das Mittel sucht sich wiederher- 
zustellen. Dieses Streben ist um so ausgeprägter, 
sehen haben, die großen prozentuellen Abweichun- 
gen. 
verständlich nicht daher, daß (z. B. beim Versuch 
mit 10 Münzen) die Aufeinanderfolge 10 -und 
dann 5 Kopfwürfe häufiger vorkäme, also etwa von 
Natur aus leichter zustande käme als die umge- 
kehrte: erst 5 und dann 10 Kopfwürfe. Bei sehr 
vielen Versuchen sieht man, daß beide Reihenfolgen 
ungefähr gleich oft vorkommen. Das ist auch 
nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung klar. Denn 
die Wahrscheinlichkeit, daß von zwei aufeinander- 
folgenden Würfen der eine fünfmal und der an- 
dere zehnmal „Kopf“ zeigt, ist bekanntlich gleich 
dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit von 5 
und der von 10 Kopfwürfen ohne Rücksicht auf 
die Reihenfolge, da ja ein Produkt seinen Wert 
bei Vertauschung seiner Faktoren nicht ändert. 
Die scheinbare Bevorzugung der Richtung zum 
Mittel hin hat ihren einfachen Grund vielmehr 
darin, daß beim Ausgehen von einem Wurf mit 
großer Abweichung vom Mittel dieser Umstand 
das Ergebnis des darauffolgenden Wurfes in 
keiner Weise beeinflußt, und eine große Abwei- 
chung darauf nur deshalb selten folgt, weil sie 
überhaupt selten ist. Wenn man hingegen von 
einem Versuch ausgeht, bei dem die Anzahl der 
Kopfwürfe nahe dem Mittel liegt, so wird in den 
meisten Fällen auch der darauffolgende Wurf 
ein ähnliches Ergebnis zeigen, weil das eben 
überhaupt am häufigsten vorkommt. 
Man kann dieses Streben zum Mittel auch 
zahlenmäßig zu fassen suchen, wenn man die auf- 
einanderfolgenden Zahlen von Kopfwürfen bei 
einer Versuchsreihe daraufhin ansieht, wie groß 
die Unterschiede (Sprünge) von einem zum näch- 
sten Versuch sind. Das sieht zunächst ganz regel- 
los aus. Man findet aber sehr leicht, daß diese 
Sprünge einem sehr einfachen Gesetz gehorchen 
müssen. Betrachten wir etwa alle Paare aus auf- 
einanderfolgenden Würfen, bei denen das erste 
Glied des Paares gerade n Kopfwürfe zeigt. Da 
ein Versuch den nächsten gar nicht beeinflußt, 
müssen unter den zweiten Gliedern dieser Paare 
die Kopfwürfe im selben Verhältnis verteilt sein . | 
wie unter allen Würfen überhaupt. Deshalb 
müssen sie dasselbe arithmetische Mittel ergeben 
wie alle Versuche zusammen. Wir nennen dieses 
Mittel etwa v. Bei 10 Münzen war z. B. v—5. 
Die zweiten Glieder der mit n anfangenden Paare 
nennen wir Nı, Ne, usw. Die einzelnen Sprünge 
haben dann die Werte u —n, na —n, . Wenn 
wir das Mittel aus allen diesen Sprüngen mit S,, 
bezeichnen, so ist dieses nach der Definition des 
arithmetischen Mittels 
Sm = m Dtm de 
wenn N die Anzahl der Würfe bedeutet, die ni 
mal Kopf zeigen. Da nun nach dem früher Ge- 
sagten A Ei 
Dieses Streben zum Ausgleich rührt selbst- 

