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welche dieser regelmäßigen Anordnungen allge- 
meiner Art mit der Raumgitterstruktur verträg- 
lich sind“, so wäre der Anschluß an die Erfah- 
rung gegeben gewesen. Nun allerdings, Schoen- 
flies hat ja das in Wirklichkeit getan und dabei 
das wichtigste Gesetz der Kristallstrukturlehre 
gefunden, und es wäre eigentlich Sache der Kri- 
stallographen gewesen, seine Ergebnisse rein di- 
daktisch anders darzustellen. Von mathemati- 
schem Standpunkte aus ist seine Entwicklung die 
einfachste und unzweifelhaft rationellste, das 
mußte ihm genügen. Das oben erwähnte Gesetz, 
die wichtigste Entdeckung von Schoenflies, lautet: 
Allen regelmäßigen Punktsystemen allgemeinster 
Art kommt zugleich Raumgitterstruktur zu, das 
heißt, es stellt sich dann immer eine kurzperio- 
dische Wiederkehr parallel gleich umgebener 
Punkte ein. Man kann das mit Schoenflies auch 
so ausdrücken: Jeder regelmäßige Teilchenhaufen 
geht durch Translationen in sich über, die eine 
endliche Gruppe von Translationen bilden. 
Ob wir also die Homogenität (d. h. vom 
Standpunkt des Diskontinuums, die Raumgitter- 
struktur) voraussetzen und dann die damit ver- 
träglichen regelmäßigen Anordnungen allgemeiner 
Art aufsuchen, oder ob wir ohne Rücksicht auf 
ersteres die durch den höchsten und allgemein- 
sten Grad der Regelmäßigkeit charakterisierten 
Punktanordnungen konstruieren, das Ergebnis 
ist das gleiche. Der Unterschied liegt didaktisch 
nur in folgendem. Das erstere Vorgehen setzt 
‘die reelle Homogenität (einen Begriff, der sich 
für das Diskontinuum als synonym mit Raum- 
gitterstruktur erweist), der Erfahrung ent- 
sprechend, voraus. Im zweiten Falle wird die 
Annahme des allgemeinsten und höchsten Grades 
der Regelmäßigkeit einzig gemacht und es muß 
dann bewiesen werden, daß dadurch ‘auch die 
reelle Homogenität gewährleistet wird. Schoen- 
flies hat in seinem Buche das ganz klar ausge- 
sprochen. Seite 360 wird erwähnt, daß für die 
Theorie der Kristallstruktur nur Raumeruppen 
bestimmter Eigenschaften in Frage kommen, und 
der Beweis des Satzes, daß überhaupt alle Raum- 
gruppen diese Eigenschaften besitzen, findet sich 
im letzten Kapitel. Wäre dieser Beweis nicht 
geliefert, so würden die gesamten Ausführungen 
nur .von mathematischem, nicht aber kristallo- 
graphischem Wert gewesen sein. Die für deu 
Kristallographen (durchaus nicht den Mathema- 
tiker) zentrale Stellung des Beweises ist nun 
etwas zu wenig in der Darstellung hervorgetreten, 
oder sagen wir besser, sie ist von den Vertretern 
der angewandten Wissenschaft nicht immer er- 
kannt worden. = 
Schoenflies’ Theorie ist wie jede mathematisch 
sorgfältig ausgearbeitete Darstellung in sich ab- 
geschlossen und als mathematisches Kunstwerk 
auf ewige Zeiten wahr. Inwieweit sie als einzige 
Kristallstrukturlehre in Frage kommt, ist eine 
Angelegenheit des wissenschaftlichen Erlebens, 
Niggli: Bedeutung der Schoenfliesschen en für die Kristallograp 


-[ Die Natur- 
wissenschaft 
der Experimentaluntersuchungen. Sofern in- 
dessen durch eine regelmäßige Anordnung von 
Massenschwerpunkten auch nur ein Teil der Wir- 
kung zustande kommt, die das kristallisierte Ver- 
halten auszeichnet, ist dieser Teil in ihr enthal- 
ten. Sie ist und bleibt in diesem Falle die Füh- 
rerin, die auch Auskunft gibt über sonst noch zu- 
lässige Annahmen. Daß die an Laues Entdeckung 
anschließenden Untersuchungen gezeigt haben, 
daß mit der gesamten Mannigfaltigkeit der 
Schoenfliesschen Darlegungen zu rechnen ist, 
weiß heute jedermann. Die Fragen, inwieweit 
dias „Gestaltliche‘“ der Atome für die phänomeno- 
logisch wahrnehmbaren Symmetrieverhältnisse 
eine Rolle spiele, berühren die Theorie nur in dem 
Sinne, der von Schoenflies 1891 postuliert wurde. 
Die Möglichkeit, Kristallstrukturen mit Hilfe 
der Röntgenstrahlen zu bestimmen, hat naturge- 
mäß dazu geführt, die Theorie der Raumgruppen 
analytisch-geometrisch auszuarbeiten. Implicite 
ist in den Darlegungen von Schoenflies alles ent- 
halten, jedoch in einer Form, die eine praktische 
Anwendung nicht unmittelbar gestattet. Die ein- 

gehendste analytisch-geometrische Untersuchung 
der 230 Raumgruppen oder Raumsysteme ist in 
des Verfassers Buch ,,Geometrische Kristallogra- 
phie des Diskontinuums“ enthalten, ein Teil dieser 
Ausführungen in rein tabellarischer Darstellung 
ist neuerdings auch in englischer Sprache erschie- 
nen’) (wobei formal noch etwas mehr expliziert 
wurde). 
Theorie fließen, die jedoch bis jetzt in meinen 
Spezialarbeiten nur zum geringsten Teil veröffent- — 
licht sind. Die ‚„atomistische“ Struktur der 
Kristalle schien es zudem dem - Verfasser wün- 
schenswert zu machen, gestützt auf Schoenflies’ 
Untersuchungen die Theorie etwas anders darzu- 
stellen. Einzige Voraussetzung ist für den 
Kristallographen ein reell homogenes Diskonti- 
nuum, und dieses Diskontinuum wird als ein 
mathematisches Gebilde betrachtet, dessen weitere 
mögliche Symmetrieeigenschaften zu untersuchen 
sind.. Die spezielle Punktlage innerhalb dieses 
Diskontinuums spielt nur noch die Rolle, die 
irgendeinem Punkte in einem mehrdimensionalen — 
Da die Voraussetzung von der. 
Homogenität ausgeht, braucht die Ableitung diese 
und da nach | 
Schoenflies alle 230 durch verschiedene Symmetrie 
reell homogene 
Diskontinua sind, muß eine solche Entwicklung 
Gebilde zukommt. 
naturgemäß nicht zu beweisen, 
ausgezeichneten Raumgruppen 
die gleichen Dale ergeben. Damit ist jedoch 
die letzte Reminiszenz an die „Kristallmolekeln“ _ 
formal beseitigt. Ob verschiedenwertige Punkte 
von chemisch gleichen oder ungleichen Teilchen 
besetzt sind, ist ebenso gleichgültig, wie die Zahl 
der verschiedenen in Betracht zu ziehenden Bau- | 
8) The Analytical Expression of the results of the 4 
Theory of Spacegroups by Ralph G. Wyckoff. Carnegie 
Institution of Washington, October 1922. 
Außerdem ergeben sich eine ganze Reihe 
von wichtigen Hilfssätzen, die unmittelbar aus der 

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