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_ eine und nur eine konstituierende Punktlage, 
ohne indessen zu übersehen, daß dies an sich 
' gleichgültig ist. Er hat jede auf Anordnung von 
_ Massenteilchen gegründete Kristalltheorie durch 
_ seine mathematischen Untersuchungen implicite 
ie erfaßt. Gestützt auf Schoenflies schien sich mir 
} auf Grund experimenteller Ergebnisse jedoch jene 
Darstellung zu empfehlen, die oben skizziert ist 
‚ und die einer völlig andersgerichteten Problem- 
stellung entspricht, ohne abweichende Resultate 
zeitigen zu können. 
In dem Werk „Kristallsysteme und Kristall- 
struktur“ von Schoenflies sind in einer gedräng- 
‘ten Darstellung von 640 Seiten naturgemäß viele 
für den Kristallographen wichtige Erkenntnisse 
PER enthalten. auf die hier nicht näher eingegangen 
werden kann. Es sei an die gruppentheoretische 
Ableitung der 32 Punktgruppen (Kristallklassen) 
erinnert, die sich von den früheren eines Hessel, 
Bravais, Gadolin, Fedorow, Curie, Minnigerode 
und Mobius wesentlich unterscheidet. Besonders 
die Ausführungen über die Kristallsysteme und 
ihre Unterabteilungen sind bedeutsam. Daß die 
von Schoenflies gewählte Klassenbezeichnung in 
ukunft wieder mehr zur Geltung kommen wird, 
ist fraglos, die von Groth gegebene wird in der 
igentlichen Gestaltenlehre daneben bestehen 
bleiben. Die gruppentheoretische Ableitung der 
Raumsysteme mit den gruppentheoretischen 
Hilfssätzen besitzt fundamentale Bedeutung für 
derartiges Darstellungs- und Rechnungsverfah- 
m. Wenn der Kristallograph sich mehr an das 
egenstindliche der Symmetrieelemente hilt, so 
rf er doch keineswegs Gruppentheorie und Vek- 
ranalysis vernachlassigen. Im Hinblick auf 
e mit Schoenflies gleichzeitigen, ebenfalls voll- 
andigen Erörterungen von E. v. Fedorow sind 
noch besonders wichtig die Abschnitte über die 
reguläre Raumteilung. Das Problem der Kristall- 
_strukturen läßt sich ja von zwei gleichberechtig- 
n Standpunkten aus betrachten, dem der regu- 
ren Raumteilung und dem der regulären Punkt- 
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Terug Beide Darstellungsweisen haben sich 
nebeneinander entwickelt und sind einander nicht 
subordiniert, sondern koordiniert. 
Mit den nicht minder berühmten Arbeiten von 
Fedorow setzt sich Schoenflies ferner in dem 
außerordentlich klaren Artikel in Band V der 
„Encyklopädie der mathematischen Wissenschaf- 
ten“ (Heft 3, Seite 4837—478) auseinander. Diese 
Darstellung ist durch scharfe Erfassung der 
Hauptpunkte ausgezeichnet und sollte von jedem 
Kristallographen gelesen werden. Der Artikel 
heißt: Symmetrie und Struktur der Kristalle. 
Nachdem das Gesetz der rationalen Indices und 
das Symmetriegesetz erläutert sind, wird die For- 
mulierung der mathematischen Probleme vorge- 
nommen. Einer Erläuterung des Gruppenbe- 
griffes schließt sich eine kurze mathematische 
Ableitung der Symmetrieklassen (-gruppen) an. 
Der Gedankengang bei Besprechung der ein- 
zelnen Strukturtheorien geht aus folgenden Zi- 
taten hervor: „Es scheint verständlich, wenn sich 
die mathematischen und kristallographischen 
Vorstellungen im Gebiet der Strukturtheorien 
nicht völlig decken. Die mathematische Problem- 
stellung muß naturgemäß nach den allgemeinsten 
regelmäßigen Molekelanordnungen fragen, aus 
denen die Grundgesetze der Kristallsubstanz als 
unmittelbare Folgerungen sich ergeben; der 
Kristallograph wird bestrebt sein, von allen der- 
artigen Anordnungen die einfachsten aufzu- 
suchen, und das sind unbestreitbar diejenigen, 
deren Molekeln parallele Lage haben.“ Ferner 
„Geht man diesen Gedanken. nach, so kommt man 
zu der Forderung, alle Strukturen aufzusuchen, 
bei denen die Symmetrie nur von der Anordnuna 
abhängt und eine besondere Qualität der Molekel 
nicht mehr nötig ist.“ Das ist nach Schoenflies 
die „reine Strukturtheorie“, die durch ihn erst 
völlig ausgearbeitet wurde. Wir sehen, daß auch 
hier Schoenflies den Hauptwert seiner allgemei- 
nen Theorie in der allgemeinsten Voraussetzung 
und der Möglichkeit reiner Anordnungssymmetrie 
sieht. Von diesem Standpunkte aus betrachtet, 
läßt sich sagen, daß, soweit Atome in Betracht 
kommen, die Experimentaluntersuchungen weder 
die Bravaissche noch die Schoenfliessche An- 
schauung bestätigt haben. Den Atomen kommen 
im allgemeinen weder die nur einfachsten Lagen, 
noch die nur allgemeinsten Lagen zu. Doch möge 
auch hier wieder darauf aufmerksam gemacht 
werden, daß die. Schoenfliessche Lösung eine viel 
allgemeinere ist. Sie umfaßt alle möglichen Fälle 
und bedarf zur zweckmäßigen Verwendung nur 
der von mir vorgenommenen Umdeutung. 
Schließlich hat A. Schoenflies auch in zwei 
wertvollen Artikeln in der „Zeitschrift für 
Kristallographie“ zu den besonderen Fragen Stel- 
lung genommen, die sich nach den Laueschen und 
Braggschen Entdeckungen aufdrängten. Sie ver- 
mittelten uns jüngeren Kristallographen den Zu- 
gang zu seinem ewig jungen Hauptwerk. Möge 
es, das längst vergriffene, nochmals neu ent- 
Bf 
