
282 
stehen, damit es, so wie es war und wie es uns 
lieb geworden ist, jeder Bücherei der Mineralo- 
sen, Mathematiker und Physiker einverleibt wer- 
den kann. Seinem Schöpfer- aber entbietet die 
Mineralogie die herzlichsten Glückwünsche zum 
siebzigsten Geburtstagsfest. Unter den vielen 
Namen berühmter Mathematiker, Physiker und 
Chemiker, die sich mit speziellen Problemen der 
Kristallehre und der Mineralogie befaßten, wird 
der Name Schoenflies stets an einer ersten Stelle 
stehen. 
Arthur Schoenflies als Mathematiker. 
Von Ludwig Bieberbach, Berlin. 
Weiten Leserkreisen dieser Zeitschrift wird 
der Nernst-Schoenflies ein guter Bekannter sein. 
Erst vor wenigen Wochen hat das Erscheinen der 
zehnten Auflage wieder bestätigt, wie begehrt das 
Buch ist. Und wieder ist es, ergänzt durch 
neueste Forschungsergebnisse, auf die Höhe der 
Zeit gebracht. Die Grundlagen des Relativitäts- 
prinzips und die Theorie der Kristallgitter hat 
Schoenflies beigesteuert, der wie wenig andere 
die Höhe der wissenschaftlichen Auffassung mit 
dem Geschick des bewährten Pädagogen zu ver- 
einigen versteht. 
_ Am 17. April feiert der Nimmermüde in wirk- 
lich seltener Frische seinen siebzigsten Geburts- 
tag. Sein mathematisches Werk und die Vorzüge 
seiner Persönlichkeit stimmen in. harmonischster 
Weise zusammen? Sein menschliches Wohlwollen 
hat ihn stets dazu veranlaßt, die Ergebnisse 
seines Forscherfleißes in behaglicher, gut les- 
barer Darstellung auch einem weiteren Kreise 
‘ von Interessenten zugänglich zu machen. Frei- 
lieh hat sich auch Schoenflies meist mit Fragen 
beschäftigt, die weit über den Kreis der engsten 
Fachgenossen hinaus auf Interesse rechnen 
konnten. 
Die Anfänge seines Schaffens liegen in der 
synthetischen Geometrie und bei der Bewegungs- 
lehre. Er hat seine und fremde Ergebnisse zu- 
sammenfassend dargestellt in seiner „Geometrie 
der Bewegung in synthetischer Darstellung“, 
Leipzig 1886, 
zusammen mit Grübler. verfaßten Artikel in der 
Encyklopidie der mathematischen Wissenschaften. 
Er hat selbst durch einige schöne geometrische 
Sätze die Theorie der allgemeinen Bewegung 
eines starren räumlichen Systems bereichert. Ich 
nenne nur ein Beispiel. Man betrachte drei ver- 
schiedene Lagen eines starren Systems. P sei 
irgendein Punkt des Systems in seiner Ausgangs- 
lage. In den beiden anderen Lagen des Systems 
gehe er in Pı bzw. Pe. über. : Wie muß man P 
wählen, damit P, P,, Ps in gerader Linie liegen ? 
Die Antwort lautet: P muß einer gewissen Raum- 
kurve dritter Ordnung angehören. Eine Kurve 
also, wie sie entsteht, wenn man zwei Kegel, die 
außerdem eine Mantellinie gemeinsam haben, zum 
Schnitt bringt. Es schließen sich Arbeiten über 
geometrische Konfigurationen an. Das sind 
Bieberbach: Arthur Schoen lids als Mathematiker. 
und später noch einmal in einem 



wissenschaften. > 
EN, von nk und Ganon in. gewisser > 
regelmäßiger Anordnung. - Gegeben sind z. B. 
10 Gerade und 10 Punkte. Sie sollen so ange- 
ordnet werden, daß auf jeder Geraden drei der 
Punkte liegen und daß durch jeden Punkt drei der 
Geraden gehen, Eine Lösung dieser Aufgabe 
wird z. B. durch die bekannte Figur des Desargue- 
schen Satzes der Geometrie geliefert: Zwei Drei- 
ecke mit den Ecken A, B, C und 4,, Bi, Cx sollen 
so gelegen sein, daß die Verbindungslinien AA, 
BB,, OC, durch einen Punkt P gehen. Schneiden 
sich dann die Geraden AB/A,B, in R, AC/[A,C, 
ins, BOC/B,C, in T, so liegen R, S, T auf einer 
geraden Linie g. Die 10 Geraden sind also AB, 
AıBı, AG; Any: BG; Baler AA,, BB}, CC1, os 
die-10-Punkte sind’ A;B;C,- Al; Bs. Cot 2.8.7. 
Ein anderes Beispiel einer Konfiguration würde 
die Figur des Pascalschen Satzes über Kegel- 
schnitte liefern. Solche Vorkommnisse veran- 
laßten manchen Mathematiker zu einer systema- 
tischen Betrachtung solcher regelmäßigen Anord- 
nungen von Punkten und Geraden. 
hört auch Schoenflies. 
mit der Frage befaßt, möglichst alle Konfigura- 
tionen mit einer gegebenen Zahl von Punkten 
und Geraden aufzufinden und ist in der Lösung 
dieser Frage weit vorgedrungen. Wieder andere 
seiner Arbeiten befassen sich in ähnlicher Weise 
mit der Aufzählung 
Statt ge- 
rader Linien hat man aber Kreisbogen als Seiten. 
Dabei darf man aber nicht an einen geschlossenen 
und Klassifikation der 
Kreisbogenpolygone. Das sind Figuren, analog den — 
gewöhnlichen geradlinigen Polygonen. 
Zu ihnen ge- 4 
Er hat sich namentlich — 
liter 

Linienzug ohne Selbstüberkreuzung denken. Viel- $ 
mehr 
Polygonseiten zugelassen. 
das Problem einer Klassifikation, das Schoenflies 
durch "gewisse funktionentheoretische 
suchungen von Felix Klein nahegelegt war. In 
der Zeit, da Schoenflies in Göttingen Extraordi- 
narius war, hat Klein, wie auf alle, die je mit 
ihm zusammenkamen, auch auf Schoenflies eine 
ungemein anregende Wirkung ausgeübt. Schoen- 
flies, dem schon seit seiner Berliner Studenten- 
werden beliebige Überschneidungen der 
zeit der Ruf eines ungewöhnlich gut gebildeten © 
Mathematikers vorausging, hat die anregende 
Wirkung Kleins stets gerne anerkannt und ist 
von jeher ein begeisterter Verehrer Kleins ge- 
blieben. 
Der Göttinger: Zeit gehören auch die Unter- 
suchungen an, die Schoenflies im Gebiete der Be- 
wegungsgruppen angestellt hat und die ihn heute — 
zu. einem weltberühmten Manne gemacht haben. 
Unter einer Bewegungsgruppe versteht man 
dabei ein System von Bewegungen des dreidimen- 
sionalen Raumes von folgender Eigenschaft: 
Wenn man zwei der Bewegungen nacheinander 
ausführt, so ist das Ergebnis immer wieder eine 
Bewegung des Systems. Ubt man auf irgendeinen 
Punkt des Raumes alle Bewegungen. der Gruppe 
aus, so entsteht eine Menge regelmäßig verteilter 
Diese Menge hat die Eigen- — 
Punkte des Raumes.. 
Unter- 
Erst dadurch entsteht 2 

yen ; 
Ne er 
+S 
we 
VEN RT EREONARRARE WR. 


