






ümlichkeit, daß durch jede Bewegung der 
4 uppe die Punkte der Menge untereinander ver- 
tauscht werden. _ Solche regelmäßig verteilte 
Punkte spielen nun in jeder Molekulartheorie der 
4 Kristalle eine Rolle, und das war der Grund, 
aus dem z. B. auch Gauf schon der Frage sein 
Interesse zuwandte. Freilich kommen fiir die 
_ Kristallographie nur einige dieser Gruppen in 
 Betracht. Das sind diejenigen, fiir welche die 
erwähnte ‘ Punktmenge nirgends dicht liegt. 
| Damit ist gemeint, daß in keinem endlichen Be- 
IE _ zirk des Raumes unendlich viele der Punkte 
a. = liegen sollen. Zunächst war es ein Mathematiker, 
| | E der sich dieser Frage zuwandte. Es war der 
Franzose Camille Jordan, der Verfasser des be- 
aa _ rühmten Cours d’analyse. Freilich wäre er im 
= Eh 1868, in das seine gruppentheoretischen 
Untersuchungen fallen, noch nicht imstande ge- 
wesen, seinen Cours d’analyse zu schreiben. Denn 
_ der Weierstraßische Kritizismus hatte seine Ein- 
_ wirkung auf eine Umgestaltung der Mathematik 

kaum begonnen, und der befruchtende Einfluß 
der Cantorschen Mengenlehre ruhte noch im 
Schoße der Zukunft. So konnte unbegreiflicher- 
weise Jordan 1868 noch meinen, die überall dich- 
ten Mengen seien mit dem Kontinuum identisch, 
eine Auffassung also, die ungefähr dem gleich- 
kommt, zu meinen, die rationalen Zahlen seien 
die einzigen. 
zipielle Lücke in den- Jordanschen Deduktionen. 
Daneben war noch manches Versehen in der Auf- 
zählung der Gruppen zu rügen. Als nächster hat 
ein Mineraloge, Sohncke, in dieser Sache das Wort 
-ergriffen. Bei ihm kamen freilich wieder die 
gruppentheoretischen Gesichtspunkte zu kurz. 
Das veranlaßte Schoenflies, die Frage erneut vor- 
zunehmen. In seiner Darstellung kommt denn 
i in der Tat keiner der vielen Gesichtspunkte zu 
_. kurz, die in die Theorie hineinspielen. Und in 
i + der Verschlungenheit der Beziehungen liegt stets 
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ein eigentümlicher Reiz einer mathematischen 
Theorie. In kristallographischer Hinsicht hatte 
sich Schoenflies eine eigene Auffassung über den 
N Aufbau der Kristalle gebildet. Der gleichzeitig 
‘= erscheinende Aufsatz Nigglis berichtet über 
Ay Be Dinge im einzelnen. 
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a ‘Kurz haben wir gerade die Mengenlehre ge- 
streift Ihr und damit den Grundlagen der Ma- 
- thematik hat Schoenflies den größten Teil seiner 
Arbeiten gewidmet. Seine Grundeinstellung zu 
„allen diesen prinzipiellen Fragen ist die einer 
. praktischen Lebensklugheit. Er steht allen den 
| Bemiithungen, die der Mathematik eine ein für 
allemal sichere Grundlage geben möchten, mit 
: -abwartender Skepsis gegenüber. Paradoxien 
können seiner Meinung nach immer einmal 
‘wieder vorkommen. Sie sind ein Anzeichen 
‘dafür, daß.man wieder einmal die Grundlagen 
revidieren muß zwecks Beseitigung der Quelle 
der Paradoxie. Solche Spekulationen liegen der 
kritisch und begrifflich gerichteten modernen 
I p Mathematik nahe. Durch die ganze Entwicklung 











Se 

Bieberbach: Arthur Schoenflies als Mathematiker. 
. fundiert, namentlich 
Das war eine grundlegende prin- 
_ dieselbe Methode verfolgt wissen, 

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der Mathematik zieht sich seit mehr als hundert 
Jahren ein steter Kampf um die Prinzipien. Die 
kühnen Schöpfungen Georg Cantors hatten in der 
Mengenlehre ein neues mathematisches Gebiet ge- 
schaffen, das auf der einen Seite von immenser 
Fruchtbarkeit war. War es doch ein Gebäude, un- 
mittelbar erwachsen aus den Bedürfnissen kon- 
kreter mathematischer Fragestellung. Auf der 
anderen Seite aber erschienen nicht gleich aufs 
erste alle Begriffsbildungen hinreichend sicher 
nicht unter den Händen 
derer, die weniger vorsichtig operierten als der 
Schöpfer selbst. So entstanden Paradoxien. Die 
bekannteste, die von der Menge aller Mengen, die 
sich nicht selbst als Element enthalten, kann man 
populär so wiedergeben: Man definiere als Dorf- 
barbier einen Mann des Dorfes, der alle und nur . 
die über Bartwuchs verfiigenden Dorfbewohner 
rasiert, die das nicht selbst besorgen, und die 
keinen Bart tragen. Dann lege man sich die 
Frage vor, wer denn nun eigentlich den Barbier 
rasiert. Dabei werde moch vorausgesetzt, daB der 
Barbier keinen Bart trägt, aber über Bartwuchs 
verfügt. Jede Beantwortung der Frage wird uns 
in Widerspruch zu der Definition setzen. Wenn 
er sich selbst rasiert, dann rasiert er ja einen, der 
das selbst besorgt. Rasiert er sich nicht selbst, 
so bekommt er entweder einen Bart, oder aber er 
hat keine Anlage zum Bart, oder aber er rasiert 
einen Mann nicht, der das nicht selbst besorgt. 
Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als 
Element enthalten, ist eine ebenso paradoxe Be- 
griffsbildung. Denn wenn sich diese Menge nicht 
selbst als Element enthielte, so müßte sie sich ent- 
halten, und wenn sie sich selbst als Element ent- 
hielte, so könnte sie sich nicht als Element ent- 
halten. Solche Paradoxien will die axiomatische 
Richtung in der Mengenlehre durch passende Ein- 
riehtung der Grundsätze ein für allemal ver- 
hindern. Diese müssen so beschaffen sein, daß 
man darnach eben den Begriff einer Menge aller 
Mengen, die sich nicht selbst als Element ent- 
halten, gar nicht bilden kann, sondern, daß man 
nur solehe Mengen bilden kann, deren Begriff 
nicht schon einen Widerspruch in sich birgt. 
Schoenflies steht solchen Bestrebungen, wie 
schon gesagt, skeptisch gegenüber. Er will hier 
die auch jeder 
Naturwissenschaftler verwendet. Auch dieser 
muß stets gewärtig sein, daß ihm seine schönste 
Theorie durch neue Tatsachen über den Haufen 
geworfen wird. Neue Tatsachen, die die Theorie 
stürzen können, sind auf mathematischem Ge- 
biete logische. Widersprüche, zu denen die seit- 
herigen: Grundlagen führen mögen. 
Diesen prinzipiellen Erwägungen steht manche 
eigene Entdeckung von Schoenflies zur Seite 
Sein großer Bericht über Mengenlehre enthält 
auch viele eigene Leistungen yon ihm selbst. Er 
hat durch das, was er auf diesem Gebiet geleistet 
hat, seinen Namen auf immer mit den Grundlagen 
der Analysis verknüpft. . 
