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gleich einem Vielfachen der Planckschen Kon- 
stanten h zu setzen haben, wobei die Integration 
im Falle der Oszillation über eine Periode, im 
Falle der Rotation über eine volle Umdrehung zu 
erstrecken ist. 
Wenn nun auch die meisten der oben genann- 
ten Quantenprobleme durch Separation der Varia- 
beln lösbar sind, hat doch Bohr darauf hinge- 
wiesen, daß man durch Anwendung der Störungs- 
theorie in allen (auch nicht separierbaren) 
Fällen in viel einfacherer, durchsichtigerer 
~ Weise und mit wesentlich weniger Rechnung 
zum Ziele kommt. Es handelt sich dabei 
um (die Lehre von den säkularen Störungen, 
die auch in der Himmelsmechanik eine bedeu- 
.tende Rolle spielen; wie der Name besagt, sind 
das langsame Änderungen, die gewisse Parameter 
des Systems erfahren. Die Astronomen glaubten 
lange, daß diese säkularenı Prozesse einen Pla- 
neten allmählich ganz aus seiner Anfangsbahn 
entfernen müßten; denn bei der analytischen 
Darstellung der Störungen erhielten sie neben 
periodischen Gliedern solche, die der Zeit oder 
einer Potenz der Zeit proportional sind, also 
dauernd anwachsen. Lindstedt und Poincaré*) 
aber konnten zeigen, daß diese nichtperiodischen 
Glieder nur durch die Unvollkommenheit des 
Näherungsverfahrens entstehen, in Wirklichkeit 
selbst wieder die ersten Glieder- der Potenzent- 
wicklung periodischer Funktionen sind; man 
kann die Bewegung tatsächlich durch (semi- 
konvergente) Reihen rein periodischer Funktionen. 
darstellen, wobei nur gewisse Perioden äußerst 
‚lang, „säkular“, sind. 
Wir wollen das Wesen dieser säkularen Stö- 
rungen an einem einfachen Beispiel klarlegen, 
dem Einfluß eines schwachen, aber sonst beliebi- 
gen Zentralfeldes auf die Bewegung eines Elek- 
trons um den Z-fach geladenen Kern. 
Die ungestörte Bewegung ist hier eine Kepler- 
ellipse. Durch die Quantentheorie wird ihre 
sroße Halbachse a festgelegt; man erhält näm- 
lich für das zu der Umlaufsbewegung gehörige 
Integral der Form (1) den Wert: 
Jp 20 € VmaZ, 
und indem man hier Jı=nh setzt, folgt: 
ae h? n? 
~ 4n2? e? mZ 
Dagegen ist es nach Bohrs Auffassung nicht er- 
laubt, die Exzentrizität der ungestörten Kepler- 
ellipse durch eine Quantenbedingung festzulegen, 
weil zu dieser keine besondere Periode der Be- 
wegung gehört. Sobald nun aber das schwache 
Zentralfeld einsetzt, wird das anders. Die Wir- 
kung desselben besteht nämlich in erster Annähe- 
a 
rung darin, daß die Richtung der großen Achse 
nicht mehr feststeht, sondern eine langsame, 
„säkulare“ Drehung (Periheldrehung) in der 
Bahnebene ausführt (Fig. 3). Es entsteht somit 
eine neue, unabhängige Periode, der auch eine 
8) H. Poincaré, Mécanique Céleste Bd, II, Kap. IX ff. 
Born : Quantentheorie und Störungsrechnung. 
neue Quantenbedingung zugeordnet werden muß. — 
Ist Js das nach der Regel (1) gebildete Integral 
steht dieses mit dem 
der Periheldrehung, so 
Impulsmoment p und der Exzentrizität e in fol- 
genden einfachen Beziehungen: 
Jo=— aap Jy As 
Indem man Js = kh setzt,\bekommt man folgende F- 
ausgezeichneten Werte für die Exzentrizität: 
; k? 
Ve 
Bohr nennt n die Hauptquantenzahl, k die azimu- 
tale Quantenzahl. 
Die Berechnung der Energie dieser säkularen 
Störungen gestaltet sich ganz besonders einfach; 
die Theorie lehrt nämlich, daß sie in erster Nähe- 
rung gleich ist dem zeitlichen Mittelwerte der 
potentiellen Energie der störenden Kräfte, ge- 
nommen über die ungestörte Bewegung. 
Hat z. B. das Zentralfeld die potentielle Ener- 
gie — (ein Fall, der sich übrigens auch mühe- 

Fig. 3. 
ae) 
Ellipsenbewegung mit Periheldrehung. 
los durch Separation der Variabeln in Polarkoor- 
dinaten erledigen läßt), so kann man jenen Mittel- 
wert leicht mit Hilfe des Impulssatzes 

REF 
2 — 
MT ap Pett 2 
berechnen. Denn hieraus folgt für den Mittel- 
a 
wert von —: 

r 
= 1 ik 1 27 9 
0. a am nam 
ee r2 den Je Tp ce 
0 0 ; 
Da andererseits die Fläche der Riise gleich 
22 
1 ‘ pees te SEMEL 
—/rdossab=saeyi-e 
‘ 
ist, so findet man durch Integration der Impuls- 
gleichung (2) über einen vollen Umlauf: 
InmaeVi—e® =-pT 
Demnach wird die Energie der säkularen Stö- 
rung: - 
16 x et m? Z? 
= OSS eee 
Ji? Jo 
a Oo 
u: a V~Vi—e 
\ 




