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répétiteur à l’École militaire ; il occupe ces fonctions jus- 
qu’en 1868. 
C’est pendant ces dix années d’une laborieuse jeunesse 
(1858-1868) que De Tilly pose les bases de ses travaux 
géométriques. Dès 1860, à vingt-trois ans, il publie ses 
Recherches sur les Éléments de géométrie, où il signale 
toutes les imperfections et les lacunes du traité de 
Legendre. Dans ce premier écrit, il donne déjà des 
preuves d’un vrai esprit critique à propos des questions 
difficiles qui se présentent au début de la science de 
l’espace et, en particulier, à propos du postulatum d’Eu- 
clide. 
Peu de temps après, 1l fait cette découverte capitale 
que l’on peut établir un système complet et rigoureux de 
géométrie sans recourir ni au postulatum d’Euclide, ni à 
aucun autre équivalent. Sans sortir de la géométrie plane, 
il retrouve, par une voie personnelle, tous les résultats 
fondamentaux de Lobatchefsky et de Bolyai. Mais il va 
plus loin qu'eux; le premier, 1l écrit une cinématique, 
une statique et une dynamique non euclidiennes. Ces 
recherches furent présentées à l’Académie royale de Bel- 
gique, le 1% août 1868, sous le titre d'Études de Méca- 
nique abstraite. 
La seconde période de la carrière scientifique de De 
Tilly s'étend de 1868 à 1878. C’est alors que son activité 
scientifique devient le plus intense. Pendant ces dix 
années, il publie plus de cinquante notes ou mémoires 
sur les sujets les plus variés de mathématiques pures ou 
appliquées. Il avait été nommé professeur à l’École mili- 
taire en 1868. La Classe des sciences de l’Académie 
royale l’avait appelé dans son sein comme correspondant 
en 1870. Dès 1872, elle le charge de faire le Rapport 
séculaire sur les travaux de l’Académie. Ce rapport, d’une 
