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Sur la condition des 6 points; par Th. De Donder, 
docteur en sciences physiques et mathématiques. 
Il existe des relations intéressantes entre les recherches 
sur les fondements de la géométrie publiées en 1892 
par le général De Tilly (* et celles de Sophus Lie (*), 
basées sur l’importante théorie des groupes continus. 
Afin de les indiquer d’une manière aussi nette que pos- 
sible, je rappelle d’abord (n° 1 et 2) un théorème fon- 
damental de Lie; étudiant ensuite les invariants relatifs 
à plus de 2 points (n° 5), je démontre que chacun des 
7 systèmes de géométrie trouvés par Lie admet une seule 
relation de 5 points et satisfait à la condition des 6 points, 
condition sur laquelle De Tilly à atüré le premier 
l'attention des géomètres. J’étends cette condition au 
cas d’un nombre quelconque de points. 
Je cherche ensuite (n° 4) la relation de cinq points 
pour un système autre que les géométries euclidienne et 
non euclidiennes; cette relation, très simple, se prête 
aisément à la vérification de la condition des 6 points. 
La connaissance des relations de 5 points relatives à tous 
les systèmes indiqués par Lie permettrait peut-être de 
découvrir un nouveau lien, formel ou géométrique, entre 
ces systèmes. 
Pour terminer (n° 5), je constate que De Tilly n’a pas 
(5) J. DE TiLLY, Essai de géométrie analytique générale. (MÉm. iN-8° 
DE L’ACAD. ROY. DE BELGIQUE, t. XLVIIT, 1892.) 
(**) S. Lis, Theorie der Transformationsgruppen (unter Mit- 
wirkung von Fr. Engel), 3e vol. Leipzig, 1893. 
