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L'auteur s'inspire à la fois des travaux de De Tilly et de 
Sophus Lie; seulement il s’agit cette fois de géométrie 
plane. 
D'une part, De Tilly définit un système de géométrie 
plane par la forme de la relation qui existe entre les 
distances de quatre points : c’est la relation de quatre 
points, soumise d’ailleurs à certaines conditions géné- 
rales. — Sophus Lie, d'autre part, définit le système de 
géométrie par la structure du groupe de déplacements 
dans l’espace correspondants. 11 soumet aussi ce groupe 
à certaines conditions générales, et comme il trouve tous 
les groupes qui y satisfont, il découvre aussi tous les 
systèmes de géométrie possibles à son point de vue. 
Ce point de vue est plus général que celui de De 
Tilly, car notre regretté collègue s'impose des conditions 
supplémentaires de continuité et d’homogénéité, — qui 
sont bien nécessaires, à notre avis, pour toute géométrie 
applicable à la physique, — mais dont on peut faire abs- 
traction au point de vue de l’analyse pure. 
M. De Donder s’est proposé, en partant du point de 
vue de Sophus Lie, de tirer, pour chaque système de 
géométrie, la relation des quatre points de la définition du 
groupe correspondant. Il y arrive par une méthode ingé- 
nieuse qui lui fournit la relation des quatre points pour 
certains systèmes que M. De Tilly aurait écartés. De plus, 
il obtient, dans le cas euclidien, la relation sous une 
forme qui s'étend immédiatement à un nombre quelcon- 
que de dimensions. | 
Nous ne dirons pas, pour cela, avec l’auteur, qu'il n’y 
a pas lieu d'attribuer un rôle privilégié aux relations 
classiques. Pour celles-ci, les intervalles sont des fonc- 
