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C’est un invariant simultané des six formes linéaires 
figurant dans la matrice (4); c’est donc une somme de 
produits de déterminants de ces formes prises quatre à 
quatre. Mais pour qu’une expression pareille soit un in- 
variant de la cubique, il faut qu’elle se conserve, à un 
facteur constant près, quand on modifie la matrice de 
manière à représenter toujours la même courbe. Il sem- 
ble difficile de découvrir a priori l'unique somme de 
produits de déterminants qui satisfait à cette condition. 
Par contre, on peut chercher linvariant, d’une ma- 
nière indirecte, en exprimant que la cubique dégénère, 
et ce problème se résout de diverses façons. Bien que 
nous ayons donné une solution dans notre Étude de quel- 
ques surfaces algébriques, nous devrons reprendre ici cet 
essai trop incomplet, et, pour ne pas nous répéter, nous 
aurons recours à de nouvelles méthodes. 
Nous avons montré pourquoi l’on ne peut pas prendre 
la représentation paramétrique la plus générale pour 
point de départ. Mais rien ne nous empêche de passer 
de la matrice (4) à une représentation paramétrique ; les 
équations (4) résolues par rapport aux x donnent 
(5) px; =(a—o©b a’ —oœb a”— ab}, (i—1,9,5, #); 
l’indicei du déterminant indique que les symboles 
a, b, … doivent prendre, dans les lignes successives, les 
indices 1, 2, 5, 4, sauf i; de plus, ce déterminant sera 
nrécédé du signe + ou — suivant que ? sera pair ou 1m- 
pair. En ordonnant par rapport à w, on obtient 
(6) ex, = (aa'a/’), — «[(ba’a/”),; + (ab'a’”\; + (aa'b’’};]. 
+ © [(bb'a/’), + (ba’b; + (ab'b/’);] — «°(bb'b"");. 
