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En éliminant X, u, v entre les relations (14), (15), 
(16), on retrouve l'égalité (8) et, par suite, l’invariant I. 
Quand cet invariant est nul, l’équation (13) est satis- 
faite pour toutes les valeurs de w, done pour tous les 
points de la conique appartenant à la cubique dégénérée. 
Les équations (41) sont alors identiques et représentent, 
l’une et l’autre, le plan de la conique; si l’on y introduit 
les valeurs de À, u, y tirées des équations (14), (15), (16) 
ou de deux d’entre elles, puisqu'elles sont alors toutes 
trois compatibles, on retrouve, comme plus haut, les six 
formes de l’équation du plan de la conique. 
En dirigeant autrement les calculs, on arrive, d’une 
autre manière encore, à l’invariant I et l’on trouve le 
point double et la droite de la cubique dégénérée. 
Les équations (12) représentent trois plans passant 
chacun par une bisécante de la cubique et se coupant 
en un point de la courbe. Si ces plans ont une droite 
commune, celle-ci appartient tout entière à la cubique, 
laquelle doit dégénérer. Or les équations (12) repré- 
sentent trois plans passant par une même droite quand 
on à 
(17) a ob, 00 a 7 | = 0 (—=1200) 
Il faut éliminer w de cette matrice. Si l’on fait suivre 
le tableau d’une colonne d'éléments 6}, on obtient, après 
simplification, l'équation quadratique 
(18) (aa/a”’b’")— «[(ba'a’’b") + (ab'a”b'")] + ©’ (bb'a/b"') = 0. 
On obtient, d’une manière analogue : 
(19) (aa'a”b') — o[(aa/b/b!) + (ba'a//b'}] + «*(ba’b"b')— 0, 
(20) (aa'a”b) — o[(ab'a”b) + (aa'b''b)] + æ'(ab'b''b) = 0. 
