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St les conditions (17) sont compatibles en w, les équa- 
tions (18), (19), (20) ont une racine commune w’, ce qui 
exige que le déterminant de leurs coefficients soit nul, et 
l'on retrouve l’invariant I dans la forme (8) : 
1= | (aa'a”b) (aa’b’'b) — (a’'abb’) (abb'L) |. 
Lorsque cet invariant est nul, la racine w’ commune 
aux équations (18), (19), (20) est égale, au signe près, 
au rapport constant des mineurs de I relatifs aux éléments 
de deux colonnes adjacentes. En appelant N,. No, N; et 
N',, No, N’; ces mineurs relatifs aux éléments des deux 
premières colonnes, on a 
Mit Net Ne _ 14 (aa/070) — (aab) (abb'b) | 
| N'+N;+N; [(aa/w”o) 4 (ab) 
C’est une formule que nous avons déjà trouvée. Dès 
lors, deux des équations 
D D Ca oO a! — cb" —0 
donnent la droite de la cubique dégénérée. Comme on 
connait aussi le plan de sa conique, on a le point double 
de la courbe. 
Nous pouvons regarder comme épuisée, ou à peu près, 
la question de l’invartant de la cubique gauche. Mais nous 
devons chercher quelques autres formes covariantes ou 
contrevariantes de cette courbe. 
D'abord, 1l est facile d'écrire les équations d’une 
bisécante issue d’un point extérieur y. En cffet, consi- 
dérons les équations (14) qui représentent une bisécante ; 
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1907. — SCIENCES. d:) 
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