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Sur les relations de 4 points; par Théophile De Donder, 
docteur en sciences physiques et mathématiques. 
Après avoir rappelé un théorème de Lie concernant 
les fondements de la géométrie plane (n° 1), j’indique 
une méthode générale pour la recherche des relations de 
4 ou de 5 points (n° 2). Je trouve ainsi une interpréta- 
tion géométrique de la relation de n +2 points de la 
géométrie euclidienne à n dimensions (n° 5). Je calcule 
enfin d’autres relations (n° 4, 5 et 6). 
Cette note et la précédente (*) permettront, j'espère, 
de se faire aisément une idée exacte de la signification 
des relations de 4 ou de 5 points : il conviendrait de ne 
plus attribuer un rôle privilégié aux relations classiques. 
1. S. Lie a établi le théorème suivant (**) : 
Si un groupe continu, d'ordre fini, de l’espace x, y 
est tel qu'il n’admette qu’un seul invariant de deux points 
(de manière que tous les invariants de plus de deux 
points puissent s'exprimer au moyen d'invariants de 
couples de points), ce groupe est transitif, renferme 
3 paramètres essentiels, et au moyen d’une transforma- 
tion ponctuelle réelle ou imaginaire, il peut être rendu 
semblable (ou de même structure) : 
(1) Au groupe 
Ps Q XP — Cyq. (a 2 0. 
(*) Sur la condition des 6 points. (BULL. DE L’ACAD. ROY. DE BEL- 
.GIQUE [Classe des sciences], 1906.) 
(**) S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen (unter Mitwirkung 
von Fr. Engel), 3e vol. Leipzig, 1893, pp. 435 et 436. 
