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un plan quelconque à mené par ! contient la directrice 
quadruple ! et deux rayons g, g'. Le point gg’ est un point 
double de F,; lorsque d tourne autour de !, ce point 
engendre une cubique gauche 7; passant par les points 
coplanaires de {. La section de F4 par un plan quelconque 
est une sextique qui à un point double sur ! et trois 
points doubles sur y,; elle est du genre un et de la 
douzième classe. Soient X, Y’ les traces de ! sur les plans 
w, & et X’, Y leurs homologues dans la transformation 
(P», P»). La section de F, par w se décompose en trois 
droites qui sont les rayons de +, passant par X, et en 
une cubique; celle-ci passe par les points A, B, C, qui 
correspondent à des rayons des faisceaux (A, B’C'), 
(B, C'A') et (C, A'B'), par les traces X, Y des 
rayons XX’, YY’, par la trace du second rayon contenu 
dans le plan {Y’, enfin par les traces des trois rayons de 
v, issus de Y’. 
6. Il est intéressant d'étudier les modifications de la 
surface F, d’après les positions particulières de la 
directrice L. 
Si l’on prend pour directrice un rayon quelconque a 
du faisceau [A] et qu'on appelle a’ le rayon homologue 
du faisceau [A’}], la surface F, se compose des faisceaux 
[A, B'C’], [A’, BC] à compter deux fois et d’une série 
réglée F;, formée par les droites joignant les points 
correspondants des ponctuelles projectives [a], [a/]. La 
quadrique F, touche les huit plans singuliers w,w', AB/C, 
A'BC’, B,, 8, y, ys par suite, lorsque a tourne autour 
de À, les quadriques F4 ainsi obtenues appartiennent à 
un réseau tangentiel (Stahl). Les génératrices du second 
mode des séries réglées F, sont les rayons d’une seconde 
