( 543 ) 
grandeur dans la théorie, si elle est nécessaire, n’est pas 
suffisante : elle s'applique, en effet, tout aussi bien qu’au 
fil tendu, à d’autres intervalles (ou fonctions des positions 
de deux points) existants dans la réalité physique et pro- 
pres à deux points (tel un certain arc de cercle). 
Dans tous ces cas, la théorie revient toujours, en fait, 
à celle des fonctions des coordonnées de deux points, 
dans une collection de points qu’on appelle l’espace ; 
et l’on ne voit ici rien autre chose, sinon qu'une telle 
collection possède (si elle satisfait aux conditions théo- 
riques d’une géométrie) les propriétés de la géométrie 
d'Euclide, 
9. D'où provient la divergence radicale de cette con- 
clusion et de celles de la nouvelle géométrie ? Il est aisé 
de le découvrir en suivant le parallélisme des déductions. 
Partant de la définition de l’espace, y constatant l’exis- 
tence des trois distances géométriques, reconnaissant que 
l’une d'elles est la distance euclidienne, nous venons de 
conclure que l’espace est euclidien. 
Les nouveaux géomètres, partant de la même défini- 
tion, découvrant les trois distances, concluent qu'il existe 
trois espaces possibles et partant trois géométries. Or 1l 
est visible que cette conséquence ne se soutient que par 
. l’adjonction implicite d’une nouvelle idée, non contenue 
dans la définition d’abord donnée de l’espace, à savoir : 
que l’espace est un système de points qui ne possède qu'UNE 
SEULE FONCTION DISTANCE. Alors, en effet, puisqu'une seule 
distance peut exister et que trois sont possibles, il existera 
trois espaces possibles différents, et par suite trois géo- 
métries. 
Or cette idée subsidiaire nouvelle, nécessaire et vrai- 
