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la parallèle unique ; si elle est représentée par Q ou R, 
elle suit une autre géométrie que celle d’'Euclide; la 
parallèle unique du postulatum est remplacée par plu- 
sieurs parallèles ou par aucune. D'ailleurs, P, Q, R sont 
également acceptables, car elles satisfont également bien 
à L; donc D, ligne droite vulgaire ou fil tendu, peut 
obéir à trois lois différentes également possibles, et rien 
ne peut démontrer que sa loi particulière est celle 
d'Euclide. 
11. Mais tout cela n’est encore que de la physique 
géométrique, ce n'est nullement une théorie de la géo- 
métrie; on a observé un fait, trouvé une loi, tiré des 
conséquences concernant un élément physique D de l’es- 
pace ; on n'a pas fait une théorie de l’espace. 
Faire cette théorie, c’est proposer une définition de 
l’espace et en édifier les conséquences. Laissant donc de 
côté l’image concrète du fil tendu ou de l’arête solide, 
admettant même que l’espace physique puisse ne pas 
exister, on appellera maintenant, d’une manière générale, 
distance Ÿ une fonction des indices propres à un couple 
d'éléments désignés par le nom de points. On trouve 
alors que pour former un ensemble systématique soumis 
à des lois, ou pour former une géométrie, à doit satisfaire 
à la loi L, être représentée par une des fonctions P,Q, R. 
Enfin, toujours dans cet ordre théorique, l’espace est un 
objet qui réalise, par un élément caractéristique unique, 
un et un seul des trois d théoriques P, Q, R. En vertu de 
cette définition, que nous désignerons par E, il y aura 
autant d'espaces possibles que de 9 possibles. La défi- 
nition E constitue une condition suffisante, c’est aussi 
la condition nécessaire, pour faire conclure à l’existence 
de plusieurs géométries, c’est-à-dire de plusieurs espaces. 
