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12. Si cette condition E est compatible avec la réalité 
physique, c’est-à-dire si la théorie est applicable, il faut 
que l’espace n'offre à l'observation qu’une seule espèce 
de grandeur possédant les propriétés de la distance théo- 
rique 9. Or, pour montrer que cela n’est pas, qu’on per- 
mette à un second géomètre de présenter, en partant de 
la considération d’un certain arc de cercle, lié d’une 
manière définie à un couple de points et qu'il appellera 
« distance », toutes les déductions déjà proposées par le 
premier géomètre muni du fil tendu auquel il avait aussi 
donné ce nom. En désignant ce fil par A, l'arc de cercle 
par B, on constatera que B satisfait comme A à la loi L 
des distances ; qu'il ne peut, comme À, être représenté 
que par une des fonctions P, Q, R. Un troisième géomètre 
enfin trouvera dans l’espace une grandeur particulière C, 
liée comme À et B d’une manière définie au couple de 
points, et il prouvera, au même titre que les deux pre- 
miers, que sa « distance » C est représentée par une des 
fonctions P, Q,R. fl s'ensuit qu’en appliquant chacun 
identiquement la manière de procéder de la nouvelle 
géométrie, les trois géomètres réunis démontreront, non 
pas qu’il y a à faire un choix, pour la seule grandeur A, 
entre trois fonctions P, Q, R, et par conséquent à choisir 
entre trois géométries, mais qu'il y à à faire ce choix 
pour chacune des trois grandeurs d’espèces différentes 
A, B, C qu'ils ont respectivement considérées; et que par 
conséquent, quelle que soit la permutation des P, Q, R 
qui correspond à l’ordre À, B, C, les trois fonctions dis- 
tances P, Q, R, ou, comme on le dit, les trois géométries, 
se trouvent réalisées dans un espace unique, auquel la 
définition E, condition nécessaire aux nouvelles théories, 
était en fait imapplicable. 
