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13. En présence de l’incompatibilité de cette condi- 
tion, nécessaire aux nouvelles théories, tant avec la défi- 
nition que ces théories donnent de l’espace qu'avec la 
nature de l’espace réel, on ne voit en fait plus rien sub- 
sister de leur assertion concernant la possibilité de 
géométries, c'est-à-dire d'espaces, différents de la géomé- 
trie et de l’espace euclidiens. 
Le remarquable travail mathématique de la métagéo- 
métrie apparaît simplement comme un travail analytique 
sur l’existence d’un système de fonctions dans lequel la 
distance euclidienne, ou la ligne droite vulgaire, occupe 
une position limite, système dont les propriétés sont 
empruntées à celles de cette distance, ou ligne droite. Le 
progrès d’un semblable ordre d'idées est comparable à 
celui qui, partant des propriétés de la parabole vulgaire, 
ferait voir que cette ligne occupe une position limite 
dans une famille de lignes-paraboles obtenues en donnant 
au paramètre K de la parabole, non plus seulement la 
valeur K — 1, mais aussi toutes les valeurs K < 1 et 
K > 1. Il paraît impossible de rien découvrir de plus en 
fait dans la géométrie dite non euclidienne que la consta- 
tation d’un semblable fait limite; fait qui n’oblige nulle- 
ment à sortir de l’espace euclidien, puisqu'il est propre à 
cet espace, et qui n’oblige pas plus à créer des espaces 
lobatchefskien et riemannien que le cas de la parabole 
ne conduirait à inventer des espaces elliptique et hyper- 
bolique. 
Nous croyons résumer très exactement notre argument 
et notre critique en disant qu’à notre sens les nouvelles 
theories ont bien prouvé l'existence d’une famille de dis- 
lances dont la distance vulgaire fait partie, ou autrement 
prouvé l'existence de PLUSIEURS DISTANCES (Ou LIGNES DROt- 
