( 30 ) 
coniques, on montre que la parabole est un cas parti- 
culier placé entre l’ellipse et l’hyperbole. Cette dernière 
analogie, en ramenant à la considération d’une famille de 
lignes mieux connues que la nouvelle famille de « lignes 
droites », fixera de la manière la plus simple les idées sur 
les procédés de déduction de la Métagéométrie, Suppo- 
sons qu'au lieu de la ligne droite d'Euclide, il soit question 
de la parabole. Le métagéomètre observera qu’en traçant 
une parabole, on trace peut-être une hyperbole ou une 
ellipse tellement rapprochées de la vraie parabole qu’il 
est impossible de décider de laquelle entre ces trois espèces 
de lignes est effectivement la ligne tracée ; il en conclut 
alors qu’on ne sait donc pas si les paraboles ne seraient 
pas soit des hyperboles, soit des ellipses, auxquels cas 
l’espace, au lieu d’être parabolique, serait hyperbolique 
ou elliptique. Il est ainsi conduit à l’existence possible de 
trois espaces et, par conséquent, de trois géométries, 
savoir 4° l’espace et la géométrie hyperbolique, dans 
lesquels ce qu’on appelle parabole est en réalité une hyper- 
bole ; 2° l’espace et la géométrie parabolique, où ce qu’on 
appelle parabole est réellement une parabole ; 3° l’espace 
et la géométrie elliptique, où ce qu’on appelle parabole 
est en réalité une ellipse. | 
Le métagéomètre va se récrier; il dira avec raison 
qu'il est absolument faux de confondre ainsi la théorie 
des coniques avec la théorie de l’espace ou la géométrie, 
et de conclure de trois espèces de coniques à trois espaces, 
différents; et qu’il sait très bien (en dehors même de. 
l'expérience) que les trois espèces existent à la fois dans 
un seul espace, ainsi que le prouve l’unique définition 
qu’on soit parvenue Jusqu'ici à donner de l’espace. Nous 
disons qu'il se récriera; et cependant ce qu’il condamnera ; 
