(51) 
ainsi est exactement ce qu'il fait quand, de la famille des 
coniques, on passe à la famille des lignes droites, dont 
fait partie la droite euclidienne. On n’a qu’à redire pour 
celle-ci ce qu’on vient de dire pour la parabole. En tra- 
çant cette droite, on ne sait pas si elle ne serait pas une 
droite riemannienne ou lobatchefskienne trop rapprochée 
pour faire la distinction, et l’on conclut à trois espaces et à 
trois géométries, lobatchefskien, euclidien, riemannien, 
alors qu’il faudrait simplement constater, comme pour 
les coniques, que toutes ces droites existent simultané- 
ment dans un même espace (*), lequel possède donc la 
droite euclidienne et est done l’espace vulgaire eucli- 
dien. L'erreur est due ici à l’influence d’un mot, celui de 
ligne” droite, et à l’idée vulgaire, mais ici contraire aux 
prémisses et à la définition de l’espace, qu'il n’existe 
qu’une ligne droite dans l’espace. Quand il s’agit des 
coniques, on ne fait pas cette confusion, à raison de 
l’habitude qu’on a du vrai sens de leur dénomination. 
IL est extraordinaire que des géomètres, dont les tra- 
vaux sont la gloire de leur époque, aient pu faire une 
semblable confusion, qui ruine tout l’édifice de la Méta- 
géométrie et n’aboutit qu'à établir plus solidement la 
géométrie séculaire d’'Euclide. Mais on était bien con- 
traint de la signaler, à raison justement de l’argument 
décisif, et qui semblait dispenser du reste, que consti- 
tuait une semblable autorité contre la prétention de 
démontrer, malgré cela, le postulatum. | 
(*) Il en est de même quand on définit la géométrie : la science de 
l'intervalle, c'est-à-dire d'une fonction des six indices (coordonnées) 
de deux points. Tous les intervalles existent simultanément dans un 
unique espace, lequel est euclidien, puisqu'il possède l'intervalle 
euclidien, ou distance euclidienne de deux points. 
