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figuration géométrique, qu’elle ne le serait par la simple 
voie de l’équation analytique de la ligne droite (*). 
(*) Il importe d’ailleurs de bien signaler que la démonstration 
présentée, si elle a une utilité actuelle, sacrifie encore au malheur 
des temps, en évitant de tirer des prémisses les plus générales de 
la géométrie tout ce qu’eiles renferment, afin d'établir par cela, 
comme je le montrerai dans une autre communication, la plus 
directe et simple démonstration du postulatum, et avec elle uné voie 
rationnelle d’exposition de la géométrie. Pour le moment, disons 
que, tout aussi bien que la notion de distance entre deux points, 
existe, au même titre nécessaire, celle d'orientation ou dirertion d’un 
point par rapport à un autre (ces notions : point, distance, orientation, 
pour éviter l’influence de la figuration, se remplaçant mieux par les 
termes élément, module, caractéristique). Cette notion d'orientation, 
d’abord, nous le répétons, indépendante de toute figuration, s’intro- 
duit en effet comme élément tout aussi nécessaire pour diférentier 
entre eux les points B équidistants d’un point À, que la notion de 
distance (module) était nécessaire pour distinguer le point B du point A. 
On appellera dès lors angle ou argument la mesure d’une différence 
d'orientation. La grandeur distance à un minimum, ou infiniment 
petit absolu, qui est l’élément de toutes les lignes et longueurs. 
La ligne droite est alors définie : la ligne dont les éléments ont la 
même orientation ou direction. 
Pour démontrer le postulatum, on démontre : 
1° Que deux droites de même direction ne se rencontrent pas; 
2 Que dans un plan, deux droites de directions différentes se 
rencontrent (en combinant le 40 avec le Lemme : quand une droite a 
une partie dans un contour convexe donné, elle coupe ce contour en 
deux points). Dès lors une parallèle menée par un point à une droite 
dans un plan est la droite de même direction ; elle est donc unique. 
On arrive ensuite, très simplement, à établir le lien nécessaire de 
la définition précédente de la droite et de celle de la droite comme 
plus courte distance [cette dernière, donnée dans les traités, n'étant, 
en fait, ensuite d'aucun usage dans l’étude des angles (sauf pour les 
théorèmes à inégalités, ou ceux qui s’appuient sur eux, qui n’y sont 
