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pas d’abord nécessaires), où on ne se sert réellement que de l’idée, 
non exprimée, d'orientation], par les cas d'égalité des triangles, cas 
d'égalité qui introduisent la comparaison des surfaces, la mesure de 
celles du rectangle et du triangle, le carré de l’hypothénuse, et, par 
cette dernière propriété, la démonstration de la droite plus courte 
distance. 
On conçoit aisément la portée de ce lien entre les définitions; sans 
rien changer aux prémisses de la géométrie élémentaire, il rem- 
place la notion complexe de la plus courte distance par la notion 
primitive de la direction ou de l'orientation, notion qui, nous le répé- 
tons, résulte de l'introduction nécessaire d’un élément pour différentier 
entre eux les points qui sont à même distance d’un point donné, et 
de laquelle, nous venons de le montrer, on fait d’abord exclusivement 
usage sans s’en rendre compte. 
C’est aussi une illusion de croire pouvoir éviter l’idée d'orientation 
en prenant pour repère un groupe de points, par exemple quatre, 
auxquels on rapporte les autres par leurs distances à ces points; 
attendu que, dans ce groupe lui-même, les points sont différentiés 
entre eux, et par rapport à l’un d’eux, par autre chose que par 
leurs distances à celui-ci. | 
On remarquera d’ailleurs soigneusement qu’en tout cela il n’y a 
aucun postulat nouveau. | 
La démonstration du postulatum d’Euclide ne consiste pas, en effet, 
à se servir seulement des mots formulés par ce géomètre, mais bien 
à tirer de ses prémisses tout ce qu’elles renferment, c’est-à-dire à 
raisonner, s’il le faut, sur ces seules prémisses, mieux et plus loin 
que lui; on s'aperçoit alors qu’il y a dans ces prémisses, qui sont des 
idées nécessaires, tout ce qu’il faut pour établir cette démonstration. 
La prétendue impossibilité de démontrer le postulatum, sans faire un 
postulat nouveaü, ne peut donc provenir que de ce qu'on n’a pas 
assez approfondi Euelide lui-même; et quant aux prétendues « géo- 
métries » de Lobatchefsky et de Riemann, elles ne peuvent rien 
arguer là contre, puisqu'elles ne prennent pas pour sujet d’observa- 
tion la collection des points, ou l’espace, mais bien une ligne parti- 
culière qui existe dans cet espace. 
