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cercle de rayon r, convenablement choisis. En effet, 
comme { = 0 et z — y, la condition (4) devient 
my) + LbAy) + + 
4. 
Yo(y) ë 
# 
Comme d, (0) est différent de O, on peut d’abord 
prendre o suffisamment petit pour que Ÿ, (y) ne s’annule 
pas dans le cercle de rayon p ni sur la circonférence; 
ensuite, ayant horné ainsi y, le numérateur de la fraction 
tend vers O avec x, et on peut évidemment vérifier 
l'inégalité pour |x| < r;, si r, est assez petit. 
Ces conditions suflisent à elles seules pour prouver que 
la série (5), où l’on fera 3 = y et t — 0, donne le déve- 
loppement de la racine considérée y. Les inégalités éta- 
blies assez longuement par M. Teixeira font connaître 
un cercle dans lequel la série (5) sera convergente, mais 
nous ne sommes pas sûr que cette connaissance soil aussi 
utile que M. Teixeira semble le dire. En effet, le cercle 
entier de convergence sera généralement plus facile 
encore à obtenir par la recherche directe du cercle dans 
lequel la fonetion représentée est synectique. 
Continuons l'examen du mémoire et passons aux cas 
non envisagés par M. David. 
L'auteur considère successivement deux cas dans 
lesquels y — 0 est une racine multiple de l'équation 
F(0, y) = 0. 
Ces deux cas sont ceux où la séparation des racines en 
systèmes circulaires est immédiate. On sait que les 
racines appartenant à un même système circulaire sont 
développables en une même série de puissances fraction- 
naires. Ce sont ces développements que fournit la for- 
