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COMMUNICATIONS ET LECTURES. 
LA DROITE PLUS COURTE DISTANCE ET LE CARRÉ DE L'HYPO- 
TÉNUSE (une erreur de méthode dans la géométrie 
élémentaire; la notion de direction et sa nécessité) ; par 
Ch. Lagrange, membre de l’Académie. 
1. Dans un récent travail (sur une démonstration du 
postulatum d’Euclide) (*), j'ai fait voir que, sans introduire 
aucun postulat nouveau et en suivant simplement et tel 
quel, sans autre discussion, l’ordre des propositions, 
soit de nos traités classiques, soit d’Euclide, on peut 
démontrer le postulatum, qui devient ainsi un théorème. 
J'ai terminé ma communication en faisant remarquer que 
la voie ainsi suivie n’était cependant ni la plus ration- 
nelle ni la plus simple, et que cette dernière se réaliserait 
par l'introduction explicite d’une idée dont, aussi bien 
qu'Euclide, tous nos traités se servent implicitement, 
mais en commettant la faute de ne pas le dire, savoir 
l’idée première d'orientation ou de direction, tout aussi 
nécessaire et inéluctable que celle de distance ou de 
longueur. 
Je me propose maintenant de présenter synthétique- 
ment l’exposé très simple de la géométrie qui résulte de 
l'introduction explicite de cette notion (tout en y donnant 
_(*) Bull. de l'Acad. roy. de Belgique (Classe des sciences), n° 1, 
1904, p. %6. 
