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en passant, et dans son ordre, la démonstration directe 
du postulatum); mais il convient, en vue même de faire 
sentir l’importance d’un tel exposé, d’insister d’abord sur 
le point que signale mon titre, c’est-à-dire sur l'erreur de 
méthode commise dans l’exposé classique actuel; cela 
fera bien ressortir, en outre, qu’il s’agit beaucoup moins 
de renverser des idées premières que de réformer, en 
les précisant, un ordre vicieux dans lequel on a pris 
l'habitude de les enchainer. Ce dernier état de choses 
s'établit d’ailleurs tout d’un coup, par un fait externe, 
vérifiable pour tout le monde : c’est que, dans tout 
l’enchainement actuel de la géométrie élémentaire, on 
ne se sert pas une seule fois (dans tous les théorèmes 
qui se traduisent par des égalités), füt-ce implicitement, de 
la définition qu'on a commencé par donner de la ligne 
droite. On se sert donc, sans le dire ou sans le savoir, 
d’une autre définition qu'on ne formule pas. C’est cette 
autre définition que nous nous proposons tout simple- 
ment d’énoncer en la précisant. 
2. Nous ne savons si on a déjà fait cette remarque 
capitale (remarque que le premier élève venu vérifiera en 
prenant son Blanchet) qu'on peut, sans rien changer à 
leur ordre, établir, à travers les propositions du premier 
et du troisième livre, une chaîne, suivant laquelle, et 
sans faire unè seule fois usage de la définition qu’on 
donnait de la droite comme étant la plus courte distance 
entre deux points, on démontre le carré de l’hypoténuse, 
c’est-à-dire le principe fondamental de la relation entre 
les distances, et avec lui, à titre de théorème, la propriété 
de la droite d’étre le plus court chemin entre deux points. 
Voici la suite de ces propositions (on a marqué d’un 
