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Ce que nous avancions est par cela même établi. 
Or on accordera qu’un exposé de la géométrie qui non 
seulement ne fait pas usage de la définition qu’il a com- 
mencé par donner de la ligne droite (*), mais qui arrive 
à démontrer, sous la forme d’un théorème, ce qu’expri- 
mait cette définition dont il ne s’est pas servi, s’il ne fait 
pas en cela un cercle vicieux est pour le moins la néga- 
tion même d’une méthode logique (**). 
38. La question de fait en présence de laquelle on se 
trouve, c’est donc qu’on se sert implicitement, dans nos 
traités (comme déjà dans Euclide, quoique sa définition 
et ses déductions soient autres), d’une définition de la 
ligne droite qui ne s’y trouve pas énoncée. Si, par la 
simple analyse de leurs déductions : 1° on découvre cette 
définition non énoncée ; 2° on prouve que cette définition 
renferme comme conséquence tant la propriété de la 
(*) Quant à l’idée qu’on y joint dans les traités, mais, avec raison, 
comme notion intuitive distincte, que par deux points on ne peut 
mener qu’une seule ligne droite (notion d’où l’on déduit que deux 
droites ne se coupent qu’en un point), elle tombe elle-même sous le 
coup de cette critique; car avant la proposition V, livre I, il n’en 
est fait non plus aucun usage dans l'établissement et l’enchaîinement 
des propositions. 
(**) Euclide, dont l’ordre de déduction à été abandonné par nos 
traités actuels, ne commet pas la faute qui est ici signalée; mais celle 
qui lui est commune avec ces traités, c’est (ainsi que le remarquait, 
dès 1758, Kœnig, dans son édition d'Euclide) qu’il ne se sert pas une 
seule fois dans tout son ouvrage {où il démontre que la ligne droite 
est le plus court chemin [ce <a + b]) de la définition inutilisable 
(semblablement ou également située entre ses points) qu’il commence 
par donner de la ligne droite. Il se sert donc, comme eux, d’une autre 
définition qu'il ne donne pas, et qui est celle de la direction. 
