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droite plus courte distance que celle de la droite unique 
entre deux points, on sera en possession du véritable 
ordre rationnel d'exposition de la géométrie; on aura en 
outre l’avantage de ne pas avoir contre soi les défenseurs 
de ces traités classiques, puisqu'on ne dira rien qu’on 
ne tire de ce qu'eux-mêmes ont déjà, en fait, mis en 
œuvre. 
4, Oril suffit de lire Les premières propositions (I à IV) 
du premier livre de la géométrie classique pour voir que 
le principe qui y définit implicitement la ligne droite 
(principe qui n’est n1 l’idée de la plus courte distance, ni 
celui de la droite unique entre deux points, lesquelles 
n’iñterviennent en rien) est, sous la représentation de la 
figure appelée angle, celui de la direction ou orientation 
des points les uns par rapport aux autres (*). Et cette 
notion, ainsi pratiquement introduite par la constatation 
d’un fait, on y reconnaît dès lors, au même titre que la 
notion de distance ou intervalle entre les points, un prin- 
cipe nécessaire de la géométrie ou science de l’espace 
considéré comme une collection de points. Je reviendrai 
plus loin sur le caractère nécessaire de cette dernière défi- 
nition, — la seule qu’on soit jamais parvenu à donner de 
l’espace, — en reprenant de plus haut l’ordre des déduc- 
tions ; pour le moment, restant sur un terrain pralique, 
je vais présenter, dans l’ordre qui me paraît rationnel, la 
suite des idées de principe qui résulte de la constatation 
indiscutable, dans la géométrie classique, de cette notion 
première d'orientation. 
(*) C’est de cette notion d'orientation qu’il est fait usage implicite 
dans la série des théorèmes conduisant, comme on l’a signalé plus 
haut, au carré de l’hypoténuse. 
