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Ce que l’on vient de démontrer pour le point A est 
vrai pour tout point du plan. On obtient donc, en pas- 
sant de proche en proche d’élément plan à élément plan, 
toute la collection des droites du plan; et l’on obtient en 
même temps toute la collection des points du plan, les- 
quels appartiennent à ces droites qu'ils déterminent. 
Il en résulte qu’on ne peut passer, dans le plan, d’un 
point À à un point B du plan que par des modules bp 
d’orientations w normales à l'orientation N du plan; 
_ c’est-à-dire par une série de points A4 Ao..A,..., pour 
lesquels on a constamment, à raison de l'identité et de 
l’indifférèence des déplacements successifs par rapport à N 
et à l'orientation opposée — N, A,AN = A,A (— N), 
donc (VII) A,AN — 1 droit; et que, par conséquent, la 
droite AB, unique dans l'espace, menée par A et B (VI), 
étant normale à N, est une des droites du plan passant 
par À contenues tout entières dans le plan.  C. Q. EF. D. 
Corollaire. Le plan est engendré’ par une droite AB, 
normale à une direction AN, qui tourne autour de AN; 
c’est-à-dire que la collection des droites normales AB, 
prises dans toutes leurs orientations, comprend tous les 
points du plan. Si, en eflet, on considère un point quel- 
conque C du plan, on vient de démontrer que la droite AC 
de l’espace est une des droites AB. 
Le théorème X, étant démontré, permet d'aborder la 
géométrie plane, c’est-à-dire tout d’abord l'étude des 
propriétés de la droite dans le plan, puisqu'on sait qu'en 
joignant deux points du plan, la ligne droite qu'ils déter- 
minent est tracée dans le plan. 
G. La notion de direction dont, comme nous avons 
1904. — SCIENCES. 92 
